%!TEX root = forallxyyc.tex
\part{Lógica verofuncional}
\label{ch.TFL}
\addtocontents{toc}{\protect\mbox{}\protect\hrulefill\par}

\chapter{Primeiros passos para simbolização}

\section{Validade em virtude da forma}\label{s:ValidityInVirtueOfForm}
Considere este argumento:%Consider this argument:
	\begin{earg}
		\item[] Está chovendo lá fora%It is raining outside.
		\item[] Se estiver chovendo lá fora, então Jenny ficará infeliz %If it is raining outside, then Jenny is miserable.
		\item[\therefore] Jenny está infeliz.
	\end{earg}
e um outro argumento:%and another argument:
	\begin{earg}
		\item[] Jenny é anarco-sindicalista%is an anarcho-syndicalist.
		\item[] Se Jenny é anarco-sindicalista, então Dipan é um ávido leitor de Tolstoy%If Jennyis an anarcho-syndicalist, then Dipan is an avid reader of Tolstoy.
		\item[\therefore] Dipan é um ávido leitor de Tolstoy%Dipan is an avid reader of Tolstoy.
	\end{earg}
Ambos argumentos são válidos e há um sentido simples e direto no qual podemos dizer que eles compartilham um estrutura comum.Poderíamos expressar a estrutura do seguinte modo:
%Both arguments are valid, and there is a straightforward sense in which we can say that they share a common structure. We might express the structure thus:
	\begin{earg}
		\item[] $A$
		\item[] Se $A$, então $C$
		\item[\therefore] $C$
	\end{earg}
Isto parece ser uma excelente \emph{estrutura} de argumento. De fato, certamente qualquer argumento com esta \emph{estrutura} será válido e esta não é a única estrutura boa de argumento. Considere um argumento como: 
%This looks like an excellent argument \emph{structure}. Indeed, surely any argument with this \emph{structure} will be valid, and this is not the only good argument structure. Consider an argument like:
	\begin{earg}
		\item[] Jenny está feliz ou está triste%Jenny is either happy or sad.
		\item[] Jenny não está feliz%Jenny is not happy.
		\item[\therefore] Jenny está triste%Jenny is sad.
	\end{earg}
Novamente, isto é um argumento válido. A estrutura aqui é algo como:
%Again, this is a valid argument. The structure here is something like:
	\begin{earg}
		\item[] $A$ ou $B$
		\item[] não-$A$
		\item[\therefore] $B$
	\end{earg}
Uma esplêndida estrutura! Aqui está outro exemplo:%A superb structure! Here is another example:
	\begin{earg}
		\item[] Não é o caso que Jim estudou bastante e atuou em muitas peças [de teatro]%It's not the case that Jim both studied hard and acted in lots of plays.
		\item[] Jim estudou bastante%Jim studied hard
		\item[\therefore] Jim não atuou em muitas peças [de teatro]%Jim did not act in lots of plays.
	\end{earg}
Este argumento válido tem uma estrutura que poderíamos representar assim:%This valid argument has a structure which we might represent thus:
	\begin{earg}
		\item[] não-($A$ e $B$)
		\item[] $A$
		\item[\therefore] não-$B$
	\end{earg}
%These examples illustrate an important idea, which we might describe as \emph{validity in virtue of form}. The validity of the arguments just considered has nothing very much to do with the meanings of English expressions like `Jenny is miserable', `Dipan is an avid reader of Tolstoy', or `Jim acted in lots of plays'.  If it has to do with meanings at all, it is with the meanings of phrases like `and', `or', `not,' and `if\ldots, then\ldots'. 
Estes exemplos ilustram uma ideia importante, que poderíamos descrever como \emph{validade em virtude da forma}. A validade dos argumentos supracitados não tem nada a ver com os significados das expressões em Português como `Jenny está infeliz', `Dipan é um ávido leitor de Tolstoy' ou `Jim atuou em muitas peças [de teatro]'. Se, de fato, ela tem a ver com significados, tem a ver com os significados de expressões  como `e', `ou', e `se\ldots, então\ldots'.
%In Parts \ref{ch.TFL}--\ref{ch.NDTFL}, we are going to develop a formal language which allows us to symbolize many arguments in such a way as to show that they are valid in virtue of their form. That language will be \emph{truth-functional logic}, or TFL.
 
Nas Partes \ref{ch.TFL}--\ref{ch.NDTFL}, iremos desemvolver uma linguagem formal que nos permite simbolizar muitos argumentos, de forma tal forma que [é possível] mostrar que eles são válidos em virtude da forma. Esta linguagem será a \emph{lógica verofuncional} ou LVF.
 
\section{Validade por razões especiais}
Há inúmeros argumentos que são válidos, mas não por razões relacionadas à forma deles. Considere um exemplo:%There are plenty of arguments that are valid, but not for reasons relating to their form. Take an example:
	\begin{earg}
		\item[] Juanita é uma aliá\footnote{NT: Aqui foi necessário modificar um pouco o exemplo do texto original, que usa as palavras `\emph{fox}' e `\emph{vixen}'. `\emph{vixen}' significa raposa fêmea, enquanto `\emph{fox}' significa raposa, sem a distinção de gênero.}%Juanita is a vixen
		\item[\therefore] Juanita é um elefante%Juanita is a fox
	\end{earg}
%It is impossible for the premise to be true and the conclusion false. So the argument is valid. However, the validity is not related to the form of the argument. Here is an invalid argument with the same form:
É impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão seja falsa. Portanto, o argumento é válido. Não obstante, a validade não está relacionada com a forma do argumento. Aqui está um argumento inválido que tem a mesma forma: 
	\begin{earg}
		\item[] Juanita é uma aliá%Juanita is a vixen
		\item[\therefore] Juanita é uma catedral%Juanita is a cathedral
	\end{earg}
%This might suggest that the validity of the first argument \emph{is} keyed to the meaning of the words `vixen' and `fox'.  But, whether or not that is right, it is not simply the \emph{shape} of the argument that makes it valid. Equally, consider the argument:
Isto poderia sugerir que a validade do primeiro argumento \emph{é} fundamentada [\emph{keyed}] no significado das palavras `aliá' e `elefante'. Mas, se isto é correto ou não, não simplesmente a \emph{estrutura} do argumento que o torna válido. Da mesma forma, considere o argumento: 
	\begin{earg}
		\item[] A escultura é completamente verde.%The sculpture is green all over.
		\item[\therefore] A escultura não é completamente vermelha.%The sculpture is not red all over. 
	\end{earg}
%Again, it seems impossible for the premise to be true and the conclusion false, for nothing can be both green all over and red all over. So the argument is valid, but here is an invalid argument with the same form:
Novamente, parece impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão seja falsa, pois nada pode ser completamente verde e ser completamente vermelha. Assim, o argumento é válido, mas aqui está um argumento inválido que tem a mesma forma: 
	\begin{earg}
		\item[] A escultura é completamente verde.%The sculpture is green all over.
		\item[\therefore] A escultura não é complemente brilhante%The sculpture is not shiny all over.
	\end{earg}
%The argument is invalid, since it is possible to be green all over and shiny all over. (One might paint their nails with an elegant shiny green varnish.)  Plausibly, the validity of the first argument is keyed to the way that colours (or colour-words) interact, but, whether or not that is right, it is not simply the \emph{shape} of the argument that makes it valid. 
O argumento é inválido, uma vez que é possível ser completamente verde e ser completamente brilhante (poderpiamos pintá-la com um elegante verniz verde brilhante). É plausível que a validade do primeiro argumento seja fundamentada na maneira na qual as cores (ou palavras para cores) interagem, mas, se isto é correto ou não, não simplesmente a \emph{estrutura} do argumento que o torna válido.

A moral importante pode ser afirmada como se segue. \emph{Na melhor das hipóteses, LVF ajuda-nos a entender argumentos que são válidos devido à forma deles}.
%The important moral can be stated as follows. \emph{At best, TFL will help us to understand arguments that are valid due to their form.}

\section{Sentenças atômicas}
%We started isolating the form of an argument, in \S\ref{s:ValidityInVirtueOfForm}, by replacing  \emph{subsentences} of sentences with individual letters. Thus in the first example of this section, `it is raining outside' is a subsentence of `If it is raining outside, then Jenny is miserable', and we replaced this subsentence with `$A$'.

Começamos isolando a forma de um argumento em \S\ref{s:ValidityInVirtueOfForm}, substituindo \emph{subsentenças} de sentenças por letras individuais. Desse modo, no primeiro exemplo desta seção, `está chovendo lá fora' é uma subsentença de `se estiver chovendo lá fora, então Jenny estará infeliz' e substituímos esta subsentença por `$A$'.
%Our artificial language, TFL, pursues this idea absolutely ruthlessly. We start with some \emph{sentence letters}. These will be the basic building blocks out of which more complex sentences are built.  We will use single uppercase letters as sentence letters of TFL.  There are only twenty-six letters of the alphabet, but there is no limit to the number of sentence letters that we might want to consider.  By adding subscripts to letters, we obtain new sentence letters. So, here are five different sentence letters of TFL:

Nossa linguagem artificial, LVF, persegue esta ideia de forma completamente implacável. Começamos com algumas \emph{letras sentenciais}. Estas serão os blocos de construção básicos a partir dos quais sentenças mais complexas são construídas. Usaremos as letras maiúsculas como letras sentenciais de LVF. Há apenas 26 letras no alfabeto\footnote{NT: consideramos aqui as letras `K', `Y' e `W'}, mas não há limite do número de letras sentenciais que gostaríamos de considerar. Adicionando subscrito às letras, obtemos novas letras sentenciais. Assim, aqui estão exemplos de cinco diferentes letras sentenciais de LVF:

  
	$$A, P, P_1, P_2, A_{234}$$
Usaremos letras sentenciais para representar ou \emph{simbolizar} certas sentenças do Português. Para fazer isso, providenciamos uma \define{chave de simboliza\c{c}\~ao}, tal como as seguintes:
%We will use sentence letters to represent, or \emph{symbolize}, certain English sentences. To do this, we provide a \define{symbolization key}, such as the following:
	\begin{ekey}
		\item[A] Está chovendo lá fora%It is raining outside
		\item[C] Jenny está infeliz%Jenny is miserable
	\end{ekey}
%In doing this, we are not fixing this symbolization \emph{once and for all}. We are just saying that, for the time being, we will think of the sentence letter of TFL, `$A$', as symbolizing the English sentence `It is raining outside', and the sentence letter of TFL, `$C$', as symbolizing the English sentence `Jenny is miserable'.

Fazendo isso, não estamos fixando esta simbolização \emph{de uma vez por toda}. Estamos apenas dizendo que, desta vez, pensaremos na letra sentencial  `$A$' de LVF como simbolizando a sentença do Português `Está chovendo lá fora' e a letra sentencial de LVF `$C$' como simbolizando a sentença do Português `Jenny está infeliz'. Posteriormente, quando estamos lidando com sentenças diferentes ou argumentos diferentes, podemos providenciar uma nova chave de simbolização, que poderia ser assim:
  Later, when we are dealing with different sentences or different arguments, we can provide a new symbolization key; as it might be:
	\begin{ekey}
		\item[A] Jenny é anarco-sindicalista%Jenny is an anarcho-syndicalist
		\item[C] Dipan é um ávido leitor de Tolstoy%Dipan is an avid reader of Tolstoy
	\end{ekey}
%It is important to understand that whatever structure an English sentence might have is lost when it is symbolized by a sentence letter of TFL.  From the point of view of TFL, a sentence letter is just a letter. It can be used to build more complex sentences, but it cannot be taken apart.
É importante entender que seja qual for a estrutura que uma sentença do Português possa ter, essa estrutura é perdida quando ela [sentença do Português] é simbolizada por uma letra sentencial de LVF. Do ponto de vista de LVF, uma letra sentencial é apenas uma letra. Ela pode ser usada para construir sentenças mais complexas, mas ela não pode ser desmembrada [decomposta].



\newglossaryentry{sentence letter}
{
name=sentence letter,
description={An letter used to represent a basic sentence in TFL}
}
\newglossaryentry{atomic sentence}
{
name=atomic sentence,
description={An expression used to represent a basic sentence; a sentence letter in TFL, or a predicate symbol followed by names in FOL}
}

\newglossaryentry{symbolization key}
{
name=symbolization key,
description={A list that shows which English sentences are represented by which \glspl{sentence letter} in TFL}
}

\chapter{Conectivos}
\label{s:TFLConnectives}
%In the previous chapter, we considered symbolizing fairly basic English sentences with sentence letters of TFL. This leaves us wanting to deal with the English expressions `and', `or', `not', and so forth. These are \emph{connectives}---they can be used to form new sentences out of old ones. In TFL, we will make use of logical connectives to build complex sentences from atomic components. There are five logical connectives in TFL. This table summarises them, and they are explained throughout this section.

No capítulo anterior, consideramos a simbolização de sentenças bastante básicas do Português por letras sentenciais de LVF. É desejável lidar também com as seguintes expressões do Português `e', `ou',`não' e assim por diante. Estas expressões são os \emph{conectivos} --- eles podem ser usados para formar novas sentenças a partir das antigas. Em LVF, usaremos os conectivos lógicos para construir sentenças complexas a partir dos componentes atômicos. Há cinco conectivos lógicos em LVF. A tabela abaixo resume-os e eles serão explicados por toda este capítulo.
   

\newglossaryentry{connective}
{
name=connective,
description={A logical operator in TFL used to combine \glspl{sentence letter} into larger sentences}
}
	\begin{table}[h]
	\center
	\begin{tabular}{l l l}
	
	\textbf{símbolo}&\textbf{como é chamado}&\textbf{significado aproximado}\\
	\hline
	\enot&negação&`não é o caso que$\ldots$'\\
	\eand&conjunção&`e'\\
	\eor&disjunção&`um$\ldots$\ ou outro $\ldots$ (ou ambos) '\\
	\eif&condicional&`se $\ldots$\, então $\ldots$'\\
	\eiff&bicondicional&`$\ldots$ se e somente se $\ldots$'\\
	
	\end{tabular}
	\end{table}

Estes não são os únicos conectivos que se tem interesse no Português. Outros são, por exemplo, `a menos que' [`\emph{unless}': a não ser que, salvo se], `nem [um] nem [outro]' [\emph{neither \dots nor \dots}] e `porque'. Veremos que os dois primeiros podem ser expressos pelos conectivos que são discutidos, enquanto o último não pode. `Porque', em contraste com os outros, não é \emph{verofuncional}.

%These are not the only connectives of English of interest. Others are, e.g., `unless', `neither \dots{} nor \dots', and `because'. We will see that the first two can be expressed by the connectives we will discuss, while the last cannot. `Because', in contrast to the others, is not \emph{truth functional}.

        
\section{Negação}

Considere como poderíamos simbolizar estas sentenças:%Consider how we might symbolize these sentences:
	\begin{earg}
	\item[\ex{not1}] Mary está em Barcelona.%Mary is in Barcelona.
	\item[\ex{not2}] Não é o caso que Mary esteja em Barcelona.%It is not the case that Mary is in Barcelona.
	\item[\ex{not3}] Mary não está em Barcelona%Mary is not in Barcelona.
	\end{earg}
A fim de simbolizar a sentença \ref{not1}, necessitaremos de uma letra sentencial. Poderíamos oferecer esta chave de simbolização:
%In order to symbolize sentence \ref{not1}, we will need a sentence letter. We might offer this symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[B] Mary está em Barcelona.%Mary is in Barcelona.
	\end{ekey}
%Since sentence \ref{not2} is obviously related to sentence \ref{not1}, we will not want to symbolize it with a completely different sentence letter. Roughly, sentence \ref{not2} means something like `It is not the case that~$B$'.  In order to symbolize this, we need a symbol for negation. We will use `\enot'. Now we can symbolize sentence \ref{not2} with `$\enot B$'.
Uma vez que a sentença \ref{not2} está obviamente relacionada à sentença \ref{not1}, não desejaremos simbolizá-la com uma letra sentencial completamente diferente.  De certo modo, a sentença  \ref{not2} significa algo como `não é o caso que~$B$'. A fim de simbolizar isto, precisamos de um símbolo para negação. Usaremos `\enot'. Agora podemos simbolizar a sentença \ref{not2} como `$\enot B$'.
%	Sentence \ref{not3} also contains the word `not', and it is obviously equivalent to sentence \ref{not2}. As such, we can also symbolize it with `$\enot B$'.

A sentença  \ref{not3} também contém a palavra `não' e ela é obviamente equivalente à sentença \ref{not2}. Dessa forma, podemos simbolizá-la também como  `$\enot B$'.
 
\factoidbox{
Uma sentença pode ser simbolizada como $\enot\meta{A}$, se ela pode ser parafraseada no Português como `não é o caso que\ldots'.%A sentence can be symbolized as $\enot\meta{A}$ if it can be paraphrased in English as `It is not the case that\ldots'.
}
Ofereceremos alguns exemplos para ajudar na compreensão:%It will help to offer a few more examples:
	\begin{earg}
		\item[\ex{not4}] O aparelho pode ser substituído.%The widget can be replaced.
		\item[\ex{not5}] O aparelho é insubstituível.%The widget is irreplaceable.
		\item[\ex{not5b}] O aparelho não é insubstituível.%The widget is not irreplaceable.
	\end{earg}
Usaremos a seguinte chave de representação:%Let us use the following representation key:
	\begin{ekey}
		\item[R] O aparelho é substituível%The widget is replaceable
	\end{ekey}
%Sentence \ref{not4} can now be symbolized by `$R$'. Moving on to sentence \ref{not5}: saying the widget is irreplaceable means that it is not the case that the widget is replaceable. So even though sentence \ref{not5} does not contain the word `not', we will symbolize it as follows: `$\enot R$'.
A sentença \ref{not4} pode ser agora simbolizada por `$R$'. Consideremos a sentença \ref{not5}: dizer que o aparelho é insubstituível significa que não é o caso que o aparelho seja substituível. Assim, embora a sentença \ref{not5} não contenha a palavra `não', ela será simbolizada como se segue: `$\enot R$'.
%Sentence \ref{not5b} can be paraphrased as `It is not the case that the widget is irreplaceable.'  Which can again be paraphrased as `It is not the case that it is not the case that the widget is replaceable'. So we might symbolize this English sentence with the TFL sentence `$\enot\enot R$'.

A sentença \ref{not5b} pode ser parafraseada como `não é o caso que o aparelho seja insubstituível'. Essa última pode ser novamente parafraseada como `não é o caso que  não seja o caso que o aparelho seja substituível'. Assim, poderíamos simbolizar este sentença do Português com a seguinte sentença de LVF: `$\enot\enot R$'.

Mas é necessário algum cuidado quando lidamos com negações. Considere os seguintes:%But some care is needed when handling negations. Consider:
	\begin{earg}
		\item[\ex{not6}] Jane está feliz.%Jane is happy.
		\item[\ex{not7}] Jane está infeliz%Jane is unhappy.
	\end{earg}
%If we let the TFL-sentence `$H$' symbolize  `Jane is happy', then we can symbolize sentence \ref{not6} as `$H$'.  However, it would be a mistake to symbolize sentence \ref{not7} with `$\enot{H}$'.  If Jane is unhappy, then she is not happy; but sentence \ref{not7} does not mean the same thing as `It is not the case that Jane is happy'. Jane might be neither happy nor unhappy; she might be in a state of blank indifference.  In order to symbolize sentence \ref{not7}, then, we would need a new sentence letter of TFL.
Se usarmos a sentença de LVF `$H$' para simbolizar `Jane está feliz', então podemos simbolizar a sentença \ref{not6} como `$H$'. Entretanto, seria um erro simbolizar a sentença \ref{not7} como `$\enot{H}$'. Se Jane está infeliz, então ela não está feliz. Mas a sentença \ref{not7} não significa a mesma coisa que `não é o caso que Jane esteja feliz'. Jane poderia estar nem feliz nem infeliz. Ela poderia estar em um estado de pura indiferença. Para simbolizar a sentença \ref{not7}, precisaríamos, então, de uma nova letra sentencial de LVF.

 
\newglossaryentry{negation}
{
name=negation,
description={The symbol \enot, used to represent words and phrases that function like the English word ``not''}
}

\section{Conjunção}
\label{s:ConnectiveConjunction}

Considere estas sentenças:%Consider these sentences:
	\begin{earg}
		\item[\ex{and1}]Adam é atlético.%Adam is athletic.
		\item[\ex{and2}]Barbara é atlética.% is athletic.
		\item[\ex{and3}]Adam é atlético e Barbara também é atlética.%Adam is athletic, and Barbara is also athletic.
	\end{earg}
Precisaremos separar letras sentenciais de LVF para simbolizar as setenças \ref{and1} e \ref{and2}; talvez
%We will need separate sentence letters of TFL to symbolize sentences \ref{and1} and \ref{and2}; perhaps
	\begin{ekey}
		\item[A] Adam é atlético.%Adam is athletic.
		\item[B] Barbara é atlética.%Barbara is athletic.
	\end{ekey}
%Sentence \ref{and1} can now be symbolized as `$A$', and sentence \ref{and2} can be symbolized as `$B$'.  Sentence \ref{and3} roughly says `A and B'. We need another symbol, to deal with `and'.	 We will use `\eand'. Thus we will symbolize it as `$(A\eand B)$'. This connective is called \define{conjunction}.  We also say that `$A$' and `$B$' are the two \define{conjuncts} of the conjunction `$(A \eand B)$'.
A sentença  \ref{and1} pode ser simbolizada como `$A$' e a sentença \ref{and2} pode ser simbolizada como `$B$'. A sentença \ref{and3} afirma aproximadamente `A e B'. Precisamos de um outro símbolo para lidar com `e'. Usaremos `\eand'. Desse modo, essa última sentença será simbolizada como `$(A\eand B)$'. Este conectivo é chamado \define{conjun\c{c}\~ao}. Também dizemos que `$A$' e `$B$' são os dois \define{conjunctos} da conjunção `$(A \eand B)$'.

   
\newglossaryentry{conjunction}
{
name=conjunction,
description={The symbol \eand, used to represent words and phrases that function like the English word ``and''; or a sentence formed using that symbol}
}

\newglossaryentry{conjunct}
{
name=conjunct,
description={A sentence joined to another by a \gls{conjunction}}
}
%Notice that we make no attempt to symbolize the word `also' in sentence \ref{and3}. Words like `both' and `also' function to draw our attention to the fact that two things are being conjoined.Maybe they affect the emphasis of a sentence, but we will not (and cannot) symbolize such things in TFL.


Note que não tentamos simbolizar a palavra ambém' na sentença  \ref{and3}. Palavras como `ambos' e `também' funcionam para chamar a atenção ao dato de que duas coisas estão sendo combinadas. Talvez elas afetem a ênfase de uma sentença, mas não queremos (nem podemos) simbolizar tais coisas em LVF.
  
Mais alguns exemplos para realçar este ponto:%Some more examples will bring out this point:
	\begin{earg}
		\item[\ex{and4}]Barbara é atlética e enérgica.%Barbara is athletic and energetic.
		\item[\ex{and5}]Barbara e Adam são ambos atléticos.% are both athletic.
		\item[\ex{and6}]Embora Barbara seja enérgica, ela não é atlética.%Although Barbara is energetic, she is not athletic.
	\item[\ex{and7}]Adam é atlético, mas Barbara é mais atlética que ele.%Adam is athletic, but Barbara is more athletic than him.
	\end{earg}
%Sentence \ref{and4} is obviously a conjunction. The sentence says two things (about Barbara). In English, it is permissible to refer to Barbara only once.  It \emph{might} be tempting to think that we need to symbolize sentence \ref{and4} with something along the lines of `$B$ and energetic'. This would be a mistake. Once we symbolize part of a sentence as `$B$', any further structure is lost, as `$B$' is a sentence letter of TFL. Conversely, `energetic' is not an English sentence at all. What we are aiming for is something like `$B$ and Barbara is energetic'.  So we need to add another sentence letter to the symbolization key. Let `$E$' symbolize `Barbara is energetic'. Now the entire sentence can be symbolized as `$(B\eand E)$'.
A sentença \ref{and4} é obviamente uma conjunção. A sentença diz duas coisas (sobre Barbara). Em Português, é permitido se referir a Barbara apenas uma vez. \emph{Poderia} ser tentador pensar que precisamos simbolizar a sentença \ref{and4} com algo parecido com  `$B$ e enérgica'. Isto seria um erro. Uma vez que simbolizamos parte de uma sentença como  `$B$', qualquer outra estrutura é perdida, porque `$B$' é uma letra sentencial de LVF. Inversamente, `enérgica' não é uma sentença do Português. O que estamos buscando é algo como `$B$ e Barbara é enérgica'. Assim, precisamos adicionar uma outra sentença à chave de simbolização. Permita que `$E$' simbolize `Barbara é enérgica'. Agora, a sentença inteira pode ser simbolizada como `$(B\eand E)$'.
%Sentence \ref{and5} says one thing about two different subjects. It says of both Barbara and Adam that they are athletic, even though in English we use the word `athletic' only once. The sentence can be paraphrased as `Barbara is athletic, and Adam is athletic'.  We can symbolize this in TFL as `$(B\eand A)$', using the same symbolization key that we have been using.

A sentença \ref{and5} diz uma coisa sobre dois sujeitos diferentes. Ela diz tanto de Barbara como de Adam que eles são atléticos, embora no Português usamos a palavra `atléticos' somente uma vez. A sentença pode ser parafraseada como `Barbara é atlética e Adam é atlético'. Podemos simbolizar isto em LVF como `$(B\eand A)$', usando a mesma chave de simbolização que estamos usando [acima].
%Sentence \ref{and6} is slightly more complicated. The word `although' sets up a contrast between the first part of the sentence and the second part. Nevertheless, the sentence tells us both that Barbara is energetic and that she is not athletic.  In order to make each of the conjuncts a sentence letter, we need to replace `she' with `Barbara'. So we can paraphrase sentence \ref{and6} as, `\emph{Both} Barbara is energetic, \emph{and} Barbara is not athletic'. The second conjunct contains a negation, so we paraphrase further: `\emph{Both} Barbara is energetic \emph{and} \emph{it is not the case that} Barbara is athletic'. Now we can symbolize this with the TFL sentence `$(E\eand\enot B)$'.  Note that we have lost all sorts of nuance in this symbolization. There is a distinct difference in tone between sentence \ref{and6} and `Both Barbara is energetic and it is not the case that Barbara is athletic'. TFL does not (and cannot) preserve these nuances.

A sentença  \ref{and6} é um pouco mais complicada. A expressão “embora” [\emph{although}] estabelece um contraste entre a primeira e a segunda parte da sentença. Não obstante, a sentença nos diz  que Barbara é enérgica e, ao mesmo tempo, ela não é atlética. Para fazermos de cada um dos conjunctos uma letra sentencial, precisamos substituir `ela' por `Barbara'. Portanto, podemos parafrasear a sentença \ref{and6} por `Barbara é enérgica \emph{e} Barbara não é atlética'. O segundo conjuncto contém uma negação, desse modo a parafrasearemos por: `Bárbara é energética \emph{e} \emph{não é o caso que} Bárbara seja atlética'. Podemos agora traduzir isto com a seguinte sentença de LVF: `$(E\eand\enot B)$'. Note que perdemos todos os tipos de nuances nesta simbolização. Há uma distinta diferença na tonalidade entre a sentença \ref{and6}  e `Bárbara é energética \emph{e} \emph{não é o caso que} Bárbara seja atlética'. LVF não preserva (e não pode preservar) estas nuances.
% Sentence \ref{and7} raises similar issues. There is a contrastive structure, but this is not something that TFL can deal with. So we can paraphrase the sentence as `\emph{Both} Adam is athletic, \emph{and} Barbara is more athletic than Adam'. (Notice that we once again replace the pronoun `him' with `Adam'.)  How should we deal with the second conjunct?  We already have the sentence letter `$A$', which is being used to symbolize `Adam is athletic', and the sentence `$B$' which is being used to symbolize `Barbara is athletic'; but neither of these concerns their relative athleticity.  So, to symbolize the entire sentence, we need a new sentence letter. Let the TFL sentence `$R$' symbolize the English sentence `Barbara is more athletic than Adam'. Now we can symbolize sentence \ref{and7} by `$(A \eand R)$'.

A sentença \ref{and7} levanta questões similares. Há uma estrutura contrastante, mas isto não é algo com o qual LVF pode lidar.  Assim, podemos parafrasear a sentença por `Adam é atlético \emph{e} Barbara é mais atlética que Adam' (perceba que substituímos o pronome `ele' por `Adam'). Como deveríamos lidar com este segundo conjuncto? Já temos a letra sentencial `$A$', que está sendo usada para simbolizar `Adam é atlético', e temos a letra sentencial `$B$', que está usada para simbolizar `Barbara é atlética'; mas nenhuma destas sentenças refere-se à qualidade relativa de ser atlético que possa ocorrer entre eles. Desse modo, para simbolizar a sentença inteira, precisamos de uma nova letra sentencial. Permita que a letra sentencial `$R$' simbolize a sentença do português `Barbara é mais atlética que Adam'. Podemos agora simbolizar a sentença \ref{and7} por `$(A \eand R)$'.

  
	\factoidbox{
		Uma sentença pode ser simbolizada por $(\meta{A}\eand\meta{B})$, se ela pode ser parafraseada no Português por `tanto\ldots como \ldots' ou por `\ldots, mas\ldots' ou por `embora \ldots, \ldots'.%A sentence can be symbolized as $(\meta{A}\eand\meta{B})$ if it can be paraphrased in English as `Both\ldots, and\ldots', or as `\ldots, but \ldots', or as `although \ldots, \ldots'.
	}
Você pode estar se perguntando por que colocamos parênteses nas conjunções. A razão disto é revelada quando levamos em conta como a negação pode interagir com a conjunção. Considere: 
%You might be wondering why we put brackets around the conjunctions. The reason for this is brought out by considering how negation might interact with conjunction. Consider:
	\begin{earg}
		\item[\ex{negcon1}] Não é o caso que você terá tanto sopa como salada.%It's not the case that you will get both soup and salad.
		\item[\ex{negcon2}] Você não terá sopa, mas terá salada.%You will not get soup but you will get salad.
	\end{earg}
A sentença 	\ref{negcon1} pode ser parafraseada por `não é o caso que: tanto você terá sopa como você terá salada'. Usanso esta chave de simbolização:
%Sentence \ref{negcon1} can be paraphrased as `It is not the case that: both you will get soup and you will get salad'. Using this symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[S_1] Você terá sopa.%You will get soup.
		\item[S_2] Você terá salada.%You will get salad.
	\end{ekey}
Simbolizaríamos anto você terá sopa como você terá salada' por `$(S_1 \eand S_2)$'. Para simbolizar a sentença \ref{negcon1}, então, você nega simplesmente a sentença inteira. Assim: `$\enot (S_1 \eand S_2)$'. 
%We would symbolize `both you will get soup and you will get salad' as `$(S_1 \eand S_2)$'. To symbolize sentence \ref{negcon1}, then, we simply negate the whole sentence, thus: `$\enot (S_1 \eand S_2)$'. 

A sentença \ref{negcon2} é uma conjunção: você \emph{não terá} sopa e você \emph{terá} salada. `Você não terá sopa' é simbolizada por `$\enot S_1$'. Assim, para simbolizar a sentença \ref{negcon2}, oferecemos `$(\enot S_1 \eand S_2)$'. 
%Sentence \ref{negcon2} is a conjunction: you \emph{will not} get soup, and you \emph{will} get salad. `You will not get soup' is symbolized by `$\enot S_1$'. So to symbolize sentence \ref{negcon2} itself, we offer `$(\enot S_1 \eand S_2)$'. 

Estas sentenças do Português são muito diferentes e, de acordo com isso, suas simbolizações diferem. Em uma delas, a conjunção inteira é negada.  Na outra, apenas um dos conjunctos é negado. Os parênteses ajudam-nos 
a monitorar coisas como o \emph{escopo} da negação.
%These English sentences are very different, and their symbolizations differ accordingly. In one of them, the entire conjunction is negated. In the other, just one conjunct is negated. Brackets help us to keep track of things like the \emph{scope} of the negation. 

\section{Disjunção}

Considere estas sentenças:%Consider these sentences:
	\begin{earg}
		\item[\ex{or1}]Ou Fatima jogará videogame ou ela verá filmes.%Either Fatima will play videogames, or she will watch movies.
		\item[\ex{or2}]Ou Fatima ou Omar jogarão videogames.%Either Fatima or Omar will play videogames. 
	\end{earg}
Para estas sentenças, podemos usar esta chave de simbolização:%For these sentences we can use this symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[F] Fatima jogará videogames.%Fatima will play videogames.
		\item[O] Omar jogará videogames.%Omar will play videogames.
		\item[M] Fatima verá filmes.%Fatima will watch movies.
	\end{ekey}
%However, we will again need to introduce a new symbol. Sentence \ref{or1} is symbolized by `$(F \eor M)$'. The connective is called \define{disjunction}.  We also say that `$F$' and `$M$' are the \define{disjuncts} of the disjunction `$(F \eor M)$'.
Entretanto, precisaremos introduzir novamente um novo símbolo. A sentença \ref{or1}  é simbolizada por `$(F \eor M)$'. O conectivo é chamado \define{disjun\c{c}\~ao}. Também dizemos que  `$F$' e `$M$' são os \define{disjuntos} da disjunção `$(F \eor M)$'.
	
\newglossaryentry{disjunction}
{
name=disjunction,
description={The connective \eor, used to represent words and phrases that function like the English word ``or'' in its inclusive sense; or a sentence formed by using this connective}
}

\newglossaryentry{disjunct}
{
name=disjunct,
description={A sentence joined to another by a \gls{disjunction}}
}
%Sentence \ref{or2} is only slightly more complicated. There are two subjects, but the English sentence only gives the verb once. However, we can paraphrase sentence \ref{or2} as `Either Fatima will play videogames, or Omar will play videogames'. Now we can obviously symbolize it by `$(F \eor O)$' again.

A sentença \ref{or2} é um pouco mais complicada. Há dois sujeitos, mas, na sentença do Português, o verbo ocorre somente uma vez. Todavia, podemos parafrasear a sentença \ref{or2} por `Ou Fatima jogará videogames ou Omar jogará videogames'. Obviamente, podemos agora simbolizá-la novamente por `$(F \eor O)$'.
 
	\factoidbox{
		Uma sentença pode ser simbolizada por $(\meta{A}\eor\meta{B})$, se ela pode ser parafraseada no Português por `Ou\ldots ou\ldots'. Cada um dos disjuntos deve ser uma sentença.%A sentence can be symbolized as $(\meta{A}\eor\meta{B})$ if it can be paraphrased in English as `Either\ldots, or\ldots.' Each of the disjuncts must be a sentence.
	}
%Sometimes in English, the word `or' is used in a way that excludes the possibility that both disjuncts are true. This is called an \define{exclusive or}.  An \emph{exclusive or} is clearly intended when it says, on a restaurant menu, `Entrees come with either soup or salad': you may have soup; you may have salad; but, if you want \emph{both} soup \emph{and} salad, then you have to pay extra.
Às vezes, no Português, a palavra `ou' é usada no sentido de excluir a possibilidade de ambos disjuntos serem verdadeiros. Isto é chamado \define{ou exclusivo}. Certamente, usa-se o \emph{ou exclusivo} quando se lê no menu de um restaurante `Entradas são acompanhadas por sopa ou salada': você terá sopa; você terá salada; mas, se você quiser \emph{tanto} sopa \emph{como} salada, então você terá de pagar a mais.
%At other times, the word `or' allows for the possibility that both disjuncts might be true. 	This is probably the case with sentence \ref{or2}, above.  Fatima might play videogames alone, Omar might play videogames alone, or they might both play. Sentence~\ref{or2} merely says that \emph{at least} one of them plays videogames. This is called an \define{inclusive or}. The TFL symbol `\eor' always symbolizes an \emph{inclusive or}.

Às vezes, a palavra `ou' permite a possibilidade que ambos os disjuntos possam ser verdadeiros. Isto é provavelmente o caso com a sentença \ref{or2} acima. Fatima poderia jogar  videogame sozinha, Omar poderia jogar videogame sozinho ou les poderiam ambos jogar videogames. A sentença~\ref{or2} diz meramente que \emph{pelo menos} um deles joga videogame. Isto é chamado \define{ou inclusivo}. O símbolo de LVF `\eor' sempre simboliza o \emph{ou inclusivo}.

Poderia ser útil ver a interção da negação com a conjunção. Considere:%It might help to see negation interact with disjunction. Consider:
	\begin{earg}
		\item[\ex{or3}] Ou você não terá sopa ou você não terá salada.%Either you will not have soup, or you will not have salad.
		\item[\ex{or4}] Você terá nem sopa nem salada.%You will have neither soup nor salad.
		\item[\ex{or.xor}] Você terá sopa ou salada, mas não ambos.%You get either soup or salad, but not both.
	\end{earg}
%Using the same symbolization key as before, sentence \ref{or3} can be paraphrased in this way: `Either \emph{it is not the case that} you get soup, or \emph{it is not the case that} you get salad'. To symbolize this in TFL, we need both disjunction and negation. `It is not the case that you get soup' is symbolized by `$\enot S_1$'. `It is not the case that you get salad' is symbolized by `$\enot S_2$'. So sentence \ref{or3} itself is symbolized by `$(\enot S_1 \eor \enot S_2)$'.

Usando a mesma chave de simbolização como antes, a sentença \ref{or3} pode ser parafraseada desta forma: `Ou \emph{não é o caso que} você terá sopa ou \emph{não é o caso que} que você terá salada'. Para simbolizar isto em LVF, precisamos tanto da disjunção como da negação. `Não é o caso que você terá sopa' é simbolizada por `$\enot S_1$'. `Não é o caso que você terá salada' é simbolizada por `$\enot S_2$'. Assim, a própria sentença \ref{or3} é simbolizada por `$(\enot S_1 \eor \enot S_2)$'.
%Sentence \ref{or4} also requires negation. It can be paraphrased as, `\emph{It is not the case that} either you get soup or you get salad'. Since this negates the entire disjunction, we symbolize sentence \ref{or4} with `$\enot (S_1 \eor S_2)$'.
 
A sentença \ref{or4} também exige a negação.  Ela pode ser parafraseada por `\emph{Não é o caso que} ou você terá sopa ou você terá salada'. Uma vez que isto nega a disjunção inteira, simbolizamos a sentença \ref{or4} por `$\enot (S_1 \eor S_2)$'.
%Sentence \ref{or.xor} is an \emph{exclusive or}. We can break the sentence into two parts.  The first part says that you get one or the other. We symbolize this as `$(S_1 \eor S_2)$'. The second part says that you do not get both.  We can paraphrase this as: `It is not the case both that you get soup and that you get salad'.  Using both negation and conjunction, we symbolize this with `$\enot(S_1 \eand S_2)$'. Now we just need to put the two parts together. As we saw above, `but' can usually be symbolized with `$\eand$'. Sentence \ref{or.xor} can thus be symbolized as `$((S_1 \eor S_2) \eand \enot(S_1 \eand S_2))$'. 

A sentença \ref{or.xor} é um \emph{ou exclusivo}. Podemos separá-la em duas partes. A primeira parte diz que você terá um ou outro. Simbolizamos isto por `$(S_1 \eor S_2)$'. A segunda parte diz que você não terá ambos. Podemos parafrasear isto por: `não é o caso que você terá sopa e que você terá salada'. Usando tanto negação como conjunção, simbolizamos por `$\enot(S_1 \eand S_2)$'. Agora precisamos apenas juntar as duas partes. Como vimos acima, `mas' pode ser geralmente simbolizado por `$\eand$'. Desse modo, a sentença \ref{or.xor} pode ser simbolizada por `$((S_1 \eor S_2) \eand \enot(S_1 \eand S_2))$'.
%This last example shows something important. Although the TFL symbol `\eor' always symbolizes \emph{inclusive or}, we can symbolize an \emph{exclusive or} in {TFL}. We just have to use a few of our other symbols as well.

Este último exemplo mostra algo importante. Embora o símbolo de LVF `\eor' simbolize sempre \emph{ou exclusivo}, podemos simbolizar \emph{ou exclusivo} em {LVF}. Temos de usar apenas algum de nossos outros símbolos também.



\section{Condicional}
Considere estas sentenças:%Consider these sentences:
	\begin{earg}
		\item[\ex{if1}] Se Jean está em Paris, então Jean está na França.%If Jean is in Paris, then Jean is in France.
		\item[\ex{if2}] Jean está na França somente se Jean está em Paris.%Jean is in France only if Jean is in Paris.
	\end{earg}
Usaremos a seguinte chave de simbolização:%Let's use the following symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[P] Jean está em Paris.%Jean is in Paris.
		\item[F] Jean está na França.%Jean is in France
	\end{ekey}
%Sentence \ref{if1} is roughly of this form: `if P, then F'. We will use the symbol `\eif' to symbolize this `if\ldots, then\ldots' structure. So we symbolize sentence \ref{if1} by `$(P\eif F)$'. The connective is called \define{the conditional}. Here, `$P$' is called the \define{antecedent} of the conditional `$(P \eif F)$', and `$F$' is called the \define{consequent}.
Grosso modo, a sentença \ref{if1} tem esta forma: `se P, então F'. Usaremos o símbolo `\eif' para simbolizar esta estrutura 'se\ldots, então\ldots'. Assim, simbolizamos a sentença \ref{if1} por `$(P\eif F)$'. O conectivo é chamado \define{o condicional}. Aqui, `$P$' é chamado o \define{antecedente} do condicional `$(P \eif F)$' e `$F$'  é chamado o \define{consequente}.
	


\newglossaryentry{conditional}
{
name=conditional,
description={The symbol \eif, used to represent words and phrases that function like the English phrase ``if \dots{} then \dots''; a sentence formed by using this symbol}
}

\newglossaryentry{antecedent}
{
name=antecedent,
description={The sentence on the left side of a \gls{conditional}}
}


\newglossaryentry{consequent}
{
name=consequent,
description={The sentence on the right side of a \gls{conditional}}
}
%Sentence \ref{if2} is also a conditional. Since the word `if' appears in the second half of the sentence, it might be tempting to symbolize this in the same way as sentence \ref{if1}. That would be a mistake. Your knowledge of geography tells you that sentence \ref{if1} is unproblematically true: there is no way for Jean to be in Paris that doesn't involve Jean being in France. But sentence \ref{if2} is not so straightforward: were  Jean in Dieppe, Lyons, or Toulouse, Jean would be in France without being in Paris, thereby rendering sentence \ref{if2} false.  Since geography alone dictates the truth of sentence \ref{if1}, whereas travel plans (say) are needed to know the truth of sentence \ref{if2}, they must mean different things.

A sentença \ref{if2} é também um condicional. Uma vez que a palavra `se' aparece na segunda metade da sentença, poderia ser tentador simbolizar isto da mesma forma que a sentença  \ref{if1}. Isto seria um erro. Seu conhecimento de geografia te diz que a sentença \ref{if1} é, sem dúvida nenhuma, verdadeira: não há maneira na qual Jean esteja em Paris que não envolva que Jean esteja na França. Mas, a sentença  \ref{if2} não tão simples e direta: se Jean estivesse em Dieppe, Lyons ou Toulouse, Jean estaria na França sem estar em Paris, tornando, portanto, a sentença \ref{if2} falsa. Uma vez que apenas a geografia dita a verdade da sentença \ref{if1}, enquanto planos de viagem são necessários para saber a verdade da sentença \ref{if2}, elas devem significar coisas diferentes.
%In fact, sentence \ref{if2} can be paraphrased as `If Jean is in France, then Jean is in Paris'. So we can symbolize it by `$(F \eif P)$'.

De fato, a sentença \ref{if2} pode ser parafraseada por `se Jean está na França, então Jean está em Paris'. Assim, podemos simbolizá-la por  `$(F \eif P)$'.
	\factoidbox{
		Uma sentença pode ser simbolizada por $\meta{A} \eif \meta{B}$, se ela pode ser parafraseada no Português como `Se A, então B' ou `A somente se B'.%A sentence can be symbolized as $\meta{A} \eif \meta{B}$ if it can be paraphrased in English as `If A, then B' or `A only if B'.
	}
\noindent De fato, muitas expressões do Português podem ser representadas, usando-se o condicional. Considere:%In fact, many English expressions can be represented using the conditional. Consider:
	\begin{earg}
		\item[\ex{ifnec1}] Para Jean estar em Paris, é necessário que Jean esteja na França.%For Jean to be in Paris, it is necessary that Jean be in France.
		\item[\ex{ifnec2}] É uma condição necessária para Jean estar em Paris que ela esteja na França.%It is a necessary condition on Jean's being in Paris that she be in France. 
		\item[\ex{ifsuf1}] Para Jean estar na França, é suficiente que Jean esteja em Paris.%For Jean to be in France, it is sufficient that Jean be in Paris.
		\item[\ex{ifsuf2}] É uma condição suficiente para Jean estar na França que ela esteja em Paris.%It is a sufficient condition on Jean's being in France that she be in Paris.
	\end{earg}
%If we think deeply about it, all four of these sentences mean the same as  `If Jean is in Paris, then Jean is in France'. So they can all be symbolized by `$P \eif F$'. 
Se pensarmos profundamente sobre isso, todas as quatro sentenças significam o mesmo que `Se Jean está em Paris, então Jean está na França'. Assim, elas podem ser todas simbolizadas por `$P \eif F$'. 
%It is important to bear in mind that the connective `\eif' tells us only that, if the antecedent is true, then the consequent is true. It says nothing about a \emph{causal} connection between two events (for example). In fact, we lose a huge amount when we use `$\eif$' to symbolize English conditionals.  We will return to this in \S\S\ref{s:IndicativeSubjunctive} and \ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}.

É importante ter em mente [\emph{to bear in mind}] que o conectivo `\eif' apenas nos diz que se o antecedente é verdadeiro, então o consequente é verdadeiro. Ele nada diz sobre uma conexão \emph{causal} entre os dois eventos (por exemplo). De fato, perdemos muita coisa quando usamos  `$\eif$' simbolizar condicionais do Português. Retornaremos a isto em  \S\S\ref{s:IndicativeSubjunctive} e em \ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}.

\section{Bicondicionais}
Considere estas sentenças:%Consider these sentences:
	\begin{earg}
		\item[\ex{iff1}] Laika é um cão somente se é um mamífero.%Laika is a dog only if she is a mammal
		\item[\ex{iff2}] Laika é um cão se ela é um mamífero.%Laika is a dog if she is a mammal
		\item[\ex{iff3}] Laika é um cão se e somente se ela é um mamífero.%Laika is a dog if and only if she is a mammal
	\end{earg}
Usaremos a seguinte chave de simbolização:%We will use the following symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[D] Laika é um cão%Laika is a dog
		\item[M] Laika é um mamífero.%Laika is a mammal
	\end{ekey}
A sentença \ref{iff1}, por razões discutidas acima, pode ser simbolizada por `$D \eif M$'.%Sentence \ref{iff1}, for reasons discussed above, can be symbolized by `$D \eif M$'.

A sentença \ref{iff2} é, de uma maneira importante, diferente. Ela pode ser parafraseada por `se Laika é um mamífero, então Laika é um cão'. Desse modo, ela pode ser simbolizada por `$M \eif D$'.%Sentence \ref{iff2} is importantly different. It can be paraphrased as, `If Laika is a mammal then Laika is a dog'. So it can be symbolized by `$M \eif D$'.
%Sentence \ref{iff3} says something stronger than either \ref{iff1} or \ref{iff2}. It can be paraphrased as `Laika is a dog if Laika is a mammal, and Laika is a dog only if Laika is a mammal'. This is just the conjunction of sentences \ref{iff1} and \ref{iff2}. So we can symbolize it as `$(D \eif M) \eand (M \eif D)$'.  We call this a \define{biconditional}, because it entails the conditional in both directions. 

A sentença \ref{iff3} diz algo mais forte que \ref{iff1} ou \ref{iff2}. Ela pode ser parafraseada por `Laika é um cão se Laika é um mamífero e Laika é um cão somente se Laika é um mamífero'. Isto é exatamente a conjunção das sentenças \ref{iff1} e \ref{iff2}. Desse modo, podemos simbolizá-la por `$(D \eif M) \eand (M \eif D)$'. Chamamos isto \define{bicondicional}, porque impõe o condicional em ambas direções.


\newglossaryentry{biconditional}
{
name=biconditional,
description={The symbol \eiff, used to represent words and phrases that function like the English phrase ``if and only if''; or a sentence formed using this connective}
}
%We could treat every biconditional this way. So, just as we do not need a new TFL symbol to deal with \emph{exclusive or}, we do not really need a new TFL symbol to deal with biconditionals.  Because the biconditional occurs so often, however, we will use the symbol `\eiff' for it. We can then symbolize sentence \ref{iff3} with the TFL sentence `$D \eiff M$'. 

Poderíamos tratar qualquer bicondicional desta forma. Assim, da mesma forma que não precisamos de um novo símbolo de LVF para lidar com \emph{ou exclusivo}, não precisamos, de fato, de um novo símbolo de LVF para lidar com biconsicionais. Entretanto, porque o bicondicional ocorre muito frequentemente, usameros o símbolo `\eiff' para ele. Podemos, então, simbolizar a sentença \ref{iff3} por meio da seguinte sentença de LVF: `$D \eiff M$'. 
%The expression `if and only if' occurs a lot especially in philosophy, mathematics, and logic.  For brevity, we can abbreviate it with the snappier word `iff'. We will follow this practice. So `if' with only \emph{one} `f' is the English conditional. But `iff' with \emph{two} `f's is the English biconditional. Armed with this we can say:

A expressão `se e somente se' ocorre muito, especialmente na filosofia, matemática e lógica. Para encurtar as coisas, podemos abreviá-la por meio da expressão mais simples `sse'. Seguiremos este  artifício. Assim, `se' com um \emph{único} `s' é o condicional do Português. Mas `sse' com \emph{dois} `s' é  o bicondicional do Português. Equipados com isso, podemos dizer:
 
	\factoidbox{
		Uma sentença pode ser simbolizada por $\meta{A} \eiff \meta{B}$ se ela pode ser parafraseada no Português por `A sse B'; ou seja, `A se e somente se B'.%A sentence can be symbolized as $\meta{A} \eiff \meta{B}$ if it can be paraphrased in English as `A iff B'; that is, as `A if and only if B'.
	}
%A word of caution. Ordinary speakers of English often use `if \ldots, then\ldots' when they really mean to use something more like `\ldots if and only if \ldots'.  Perhaps your parents told you, when you were a child: `if you don't eat your greens, you won't get any dessert'. Suppose you ate your greens, but that your parents refused to give you any dessert, on the grounds that they were only committed to the \emph{conditional} (roughly `if you get dessert, then you will have eaten your greens'), rather than the biconditional (roughly, `you get dessert iff you eat your greens'). Well, a tantrum would rightly ensue. So, be aware of this when interpreting people; 
Uma palavra de cautela. Falantes habituais do Português frequentemente usam `se\ldots, então\ldots' quando, na verdade, eles querem usar algo mais parecido com `\ldots se e somente se \ldots '. Talvez seus pais tenha lhe dito o seguinte quando você era uma criança: `se você não comer as verduras, então você não terá sobremesa'. Suponha que você tenha comido as verdauras, mas que seus pais recusam a lhe dar qualquer sobremesa, porque eles estavam apenas comprometidos com o \emph{condicional} (grosso modo, `se você tiver sobremesa, então você terá comido as verduras'), em vez do bicondicional (grosso modo, `você terá sobremesa sse comer as verduras'). Ora, é certo que uma malcriação ocorreria consequentemente. Dessa forma, esteja consciente disto ao interpretar as pessoas; mas, em seus próprios escritos, certifique-se de que você usará o bicondicional sse você quer dizer o bicondicional [\emph{but in your own writing, make sure you use the biconditional iff you mean to.}].

\section{A menos que}
%We have now introduced all of the connectives of TFL.  We can use them together to symbolize many kinds of sentences.  An especially difficult case is when we use the English-language connective `unless':
Já introduzimos todos os conectivos de LVF. Podemos usá-los juntos para simbolizar muitos tipos de sentenças. Um caso especialmente difícil é quando usamos o conectivo da lingua portuguesa `embora':

\begin{earg}
\item[\ex{unless1}] A menos que você use uma jacket, você ficará resfriado.%Unless you wear a jacket, you will catch a cold. 
\item[\ex{unless2}] Você ficará resfriado, a menos que você use jaqueta.%You will catch a cold unless you wear a jacket. 
\end{earg}
Estas duas sentenças são obviamente equivalentes. Para simbolizá-las, usaremos a seguinte chave de simbolização:%These two sentences are clearly equivalent. To symbolize them, we will use the symbolization key:
	\begin{ekey}
		\item[J] Você usará jaqueta.%You will wear a jacket.
		\item[D] Você ficará resfriado.%You will catch a cold.
	\end{ekey}
%Both sentences mean that if you do not wear a jacket, then you will catch a cold.  With this in mind, we might symbolize them as `$\enot J \eif D$'. 
Ambas sentenças significam que se você não usar a jaqueta, então você ficará resfriado. Com isto em mente, poderíamos simbolizá-las por `$\enot J \eif D$'. 

%Equally, both sentences mean that if you do not catch a cold, then you must have worn a jacket.  With this in mind, we might symbolize them as `$\enot D \eif J$'.
Da mesma forma, ambas sentenças significam que se você não ficar resfriado, então você deve ter usado uma jaqueta. Com isto em mente, poderíamos simbolizá-las por `$\enot D \eif J$'.

% Equally, both sentences mean that either you will wear a jacket or you will catch a cold. With this in mind, we might symbolize them as `$J \eor D$'.
Da mesma forma, ambas sentenças significam que ou você usará jaqueta ou ficará resfriado. Com isto em mente, poderíamos simbolizá-las por `$J \eor D$'.

%All three are correct symbolizations. Indeed, in chapter \ref{s:SemanticConcepts} we will see that all three symbolizations are equivalent in TFL.
Todas as três [formas] são simbolizações corretas. De fato, no capítulo \ref{s:SemanticConcepts}, veremos que todas as três simbolizações são equivalentes em LVF.
% TODO: it might be useful to reference exercise 11.F.3 explicitly
% here, since the point is not discussed in the main text
	\factoidbox{
		Se uma sentença pode ser parafraseada por À menos que A, B', então ela pode ser simbolizada por `$\meta{A}\eor\meta{B}$'.%If a sentence can be paraphrased as `Unless A, B,' then it can be symbolized as `$\meta{A}\eor\meta{B}$'.
	}
%Again, though, there is a little complication. `Unless' can be symbolized as a conditional; but as we said above, people often use the conditional (on its own) when they mean to use the biconditional. Equally, `unless' can be symbolized as a disjunction; but there are two kinds of disjunction (exclusive and inclusive). So it will not surprise you to discover that ordinary speakers of English often use `unless' to mean something more like the biconditional, or like exclusive disjunction. Suppose someone says: `I will go running unless it rains'. They probably mean something like `I will go running iff it does not rain' (i.e.\ the biconditional), or  `either I will go running or it will rain, but not both' (i.e.\ exclusive disjunction).   Again: be aware of this when interpreting what other people have said, but be precise in your writing.
Mas, novemente, há uma pequena complicação. `A menos que' pode ser simbolizada como um condicional; contudo, como dissemos acima, pessoas frequentemente usam o condicional (por sua conta) quando elas querem usar o bicondicional. Da mesma forma, `a menos que' pode ser simbolizado como uma disjunção; entretanto, há dois tipos de disjunção (exclusiva e inclusiva). Desse modo, não será surpreendente que você descubra que falantes comuns do Português usem `a menos que' como significando algo mais parecido com bicondicional ou com a disjunção exclusiva. Suponha que alguém diga: `irei correr a menos que chova'. Provavelmente, ele que dizer algo como `Irei correr sse não chover' (ou seja, o bicondicional) ou, então, `irei correr ou choverá, mas não ambos' (ou seja, a disjunção exclusiva). Novamente: esteja ciente disto ao interpretar o que as pessoas dizem, mas seja preciso em seus escritos.	

\practiceproblems
\solutions
\problempart Usando a chave de simbolização dada, simbolize cada uma das sentenças do Português em LVF:\label{pr.monkeysuits}%Using the symbolization key given, symbolize each English sentence in TFL.\label{pr.monkeysuits}
	\begin{ekey}
		\item[M] Estas criaturas são homens de terno.%Those creatures are men in suits. 
		\item[C] Estas criaturas são chimpanzés.%Those creatures are chimpanzees. 
		\item[G] Estas criaturas são gorilas.%Those creatures are gorillas.
	\end{ekey}
\begin{earg}
\item Estas criaturas não são homens de terno.%Those creatures are not men in suits.
\item Estas criaturas são homens de ternos ou elas não são.%Those creatures are men in suits, or they are not.
\item Estas criaturas são gorilas ou chimpazés.%Those creatures are either gorillas or chimpanzees.
\item Estas criaturas são nem gorilas nem chimpazés.%Those creatures are neither gorillas nor chimpanzees.
\item Se estas criaturas são chimpanzés, então elas não são nem gorilas nem homens de terno.%If those creatures are chimpanzees, then they are neither gorillas nor men in suits.
\item A menos que estas criaturas sejam homens de terno, elas são ou chimpazés ou ela são gorilas.%Unless those creatures are men in suits, they are either chimpanzees or they are gorillas.
\end{earg}

\problempart Usando a chave de simbolização dada, simbolize cada uma das sentenças do Português em LVF:%Using the symbolization key given, symbolize each English sentence in TFL.
\begin{ekey}
\item[A] Senhor Ace foi assassinado.%Mister Ace was murdered.
\item[B] O mordomo fez isso%The butler did it.
\item[C] O cozinheiro fez isso.%The cook did it.
\item[D] A duquesa está mentindo.%The Duchess is lying.
\item[E] Senhor Edge foi assassinado.%Mister Edge was murdered.
\item[F] A arma do crime foi uma frigideira. %The murder weapon was a frying pan.
\end{ekey}
\begin{earg}
\item O senhor Ace ou Senhor Edge foi assassinado.%Either Mister Ace or Mister Edge was murdered.
\item Se Senhor Ace foi assassinado, então o cozinheiro fez isso.%If Mister Ace was murdered, then the cook did it.
\item Se senhor Edge foi assassinado, então o cozinheiro fez isso.%If Mister Edge was murdered, then the cook did not do it.
\item Ou o mordomo faez isso ou a duqueza está mentindo.%Either the butler did it, or the Duchess is lying.
\item O cozinheiro fez isso somente se a duquesa estiver mentindo.%The cook did it only if the Duchess is lying.
\item Se a arma do crime foi uma frigideira, então o culpado deve ter sido o cozinheiro.%If the murder weapon was a frying pan, then the culprit must have been the cook.
\item Se a arma do crime não foi uma frigideira, então o culpado seria ou o cozinheiro ou o mordomo. %If the murder weapon was not a frying pan, then the culprit was either the cook or the butler.
\item Senhor Ace foi assassinado se e somente se senhor Edge não foi assassinado.%Mister Ace was murdered if and only if Mister Edge was not murdered.
\item A duquesa está mentindo, a menos que senhor Edge tenha sido assassinado.%The Duchess is lying, unless it was Mister Edge who was murdered.
\item Se senhor Ace foi assassinado, então foi usada a frigideira como arma do crime.%If Mister Ace was murdered, he was done in with a frying pan.
\item Uma vez que o cozinheiro fez isso, o mordomo não o fez.%Since the cook did it, the butler did not.
\item É claro que a duquesa está mentindo!%Of course the Duchess is lying!
\end{earg}
\solutions

\problempart Usando a chave de simbolização dada, simbolize cada uma das sentenças do Português em LVF:\label{pr.avacareer}%Using the symbolization key given, symbolize each English sentence in TFL.\label{pr.avacareer}
	\begin{ekey}
		\item[E_1] Ava é  eletricista.%Ava is an electrician.
		\item[E_2] Harrison é  eletricista.%Harrison is an electrician.
		\item[F_1] Ava é bombeira%Ava is a firefighter.
		\item[F_2] Harrison é bombeiro%Harrison is a firefighter.
		\item[S_1] Ava está satisfeita com a carreira dela.%Ava is satisfied with her career.
		\item[S_2] Harrison está satisfeito com a carreira dele.%Harrison is satisfied with his career.
	\end{ekey}
\begin{earg}
\item Ava e Harrison são ambos eletricistas.%Ava and Harrison are both electricians.
\item Se Ava é bombeira, então ela está satisfeita com a carreira dela.%If Ava is a firefighter, then she is satisfied with her career.
\item Ava é bombeira, a menos que ela seja eletricista.%Ava is a firefighter, unless she is an electrician.
\item Harrison é um eletricista insatisfeito.%Harrison is an unsatisfied electrician.
\item Nem Ava nem Harrison são eletricistas.%Neither Ava nor Harrison is an electrician.
\item Tanto Ava como Harrison são eletricistas, mas nenhum deles está satisfeito.%Both Ava and Harrison are electricians, but neither of them find it satisfying.
\item Harrison está satisfeito somente se ele é bombeiro.%Harrison is satisfied only if he is a firefighter.
\item Se Ava não é eletricista, então nem Harrison é, mas se ela for, então ele também é.%If Ava is not an electrician, then neither is Harrison, but if she is, then he is too.
\item Ava está satisfeita com a carreira dela se e somente se Harrison não está satisfeito com a dele.%Ava is satisfied with her career if and only if Harrison is not satisfied with his.
\item Se Harrison é tanto eletricista como bombeiro, então ele deve estar satisfeito com o trabalho dele.%If Harrison is both an electrician and a firefighter, then he must be satisfied with his work.
\item Não pode ser [o caso] que Harrison é tanto eletricista como bombeiro.%It cannot be that Harrison is both an electrician and a firefighter.
\item Harrison e Ava são ambos bombeiros se e somente se nenhum deles é eletricista.%Harrison and Ava are both firefighters if and only if neither of them is an electrician.
\end{earg}

\problempart
Usando a chave de simbolização dada, simbolize cada uma das sentenças do Português em LVF:%Using the symbolization key given, symbolize each English-language sentence in TFL.
\label{pr.jazzinstruments}
\begin{ekey}
\item[J_1] John Coltrane tocava saxofone tenor.%John Coltrane played tenor sax.
\item[J_2] John Coltrane tocava saxofone soprano.%John Coltrane played soprano sax.
\item[J_3] John Coltrane tocava tuba.%John Coltrane played tuba
\item[M_1] Miles Davis tocava trompete.%Miles Davis played trumpet
\item[M_2]  Miles Davis tocava tuba.%Miles Davis played tuba
\end{ekey}

\begin{earg}
\item John Coltrane tocava saxofones tenor e soprano.%John Coltrane played tenor and soprano sax. %{\color{red} $J_1 \eand J_2$} \vspace{1ex}
\item Nem Miles Davis nem John Coltrane tocavam tuba.%Neither Miles Davis nor John Coltrane played tuba. %{\color{red} $\enot(M_2 \eor J_3)$ or $\enot M_2 \eand \enot J_3$} \vspace{1ex}
\item John Coltrane não tocava tanto saxofone tenor como tuba.%John Coltrane did not play both tenor sax and tuba.  %{\color{red} $\enot(J_1 \eand J_3)$ or $\enot J_1 \eor \enotJ_3$} \vspace{1ex}
\item John Coltrane não tocava saxofone tenor, a menos que também tocasse saxofone soprano.%John Coltrane did not play tenor sax unless he also played soprano sax. %{\color{red} $\enot J_1 \eor J_2$} \vspace{1ex}
\item John Coltrane não tocava tuba, mas Miles Davis tocava.%John Coltrane did not play tuba, but Miles Davis did. %{\color{red} $\enotJ_3 \eand M_2$} \vspace{1ex}
\item Miles Davis tocava trompete somente se ele também tocava tuba.%Miles Davis played trumpet only if he also played tuba. %{\color{red} $M_1 \eiff M_2$} \vspace{1ex}
\item Se Miles Davis tocava trompete, então John Coltrane tocava pelo menos um destes instrumentos: saxofone tenor, saxofone soprano ou tuba.%If Miles Davis played trumpet, then John Coltrane played at least one of these three instruments: tenor sax, soprano sax, or tuba. %{\color{red} $M_1 \eif (J_1 \eor (J_2 \eor J_3))&} \vspace{1ex}
\item Se John Coltrane tocava tuba, então Miles Davis tocava nem trompete nem tuba.%If John Coltrane played tuba then Miles Davis played neither trumpet nor tuba. %{\color{red} $J_3 \eif \enot(M_1 \eor M_2)$ or $J_3 \eif (\enot M_1 \eand \enot M_2)$  } \vspace{1ex}
\item Miles Davis e John Coltrane tocavam ambos tuba se e somente se Coltrane não tocava saxofone tenor e Miles Davis não tocava trompete.%Miles Davis and John Coltrane both played tuba if and only if Coltrane did not play tenor sax and Miles Davis did not play trumpet. %{\color{red} $(J_3 \eand M_2) \eiff \enotJ_1 & \enot M_1)$ or $(J_3 \eand M_2) \eiff \enot (J_1 \eor M_1)$} \vspace{1ex}
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.spies}
Dê uma chave de simbolização e simbolize as seguintes sentenças do Português em LVF:%Give a symbolization key and symbolize the following English sentences in TFL.
\begin{earg}
\item Alice e Bob são ambos espiões.%Alice and Bob are both spies.
\item Se Alice ou Bob são espiões, então o código foi quebrado.%If either Alice or Bob is a spy, then the code has been broken.
\item Se nem Alice nem Bob são espiões, então o código não foi quebrado.%If neither Alice nor Bob is a spy, then the code remains unbroken.
\item A embaixada da Alemanha está em polvorosa, a menos que alguém tenha quebrado o código.%The German embassy will be in an uproar, unless someone has broken the code.
\item Ou o código foi quebrado ou não foi, mas, independentemente, a embaixada da Alemanha estará em polvorosa. %Either the code has been broken or it has not, but the German embassy will be in an uproar regardless.
\item Ou Alice ou Bob são espiões, mas não ambos.%Either Alice or Bob is a spy, but not both.
\end{earg}

\solutions
\problempart Dê uma chave de simbolização e simbolize as seguintes sentenças do Português em LVF:%Give a symbolization key and symbolize the following English sentences in TFL.
\begin{earg}
\item Se há comida para ser encontrada em Pridelands, então Rafiki falará sobre bananas amassadas. %If there is food to be found in the pridelands, then Rafiki will talk about squashed bananas.
\item Rafiki falará sobre bananas amassadas, a menos que Simba esteja vivo.%Rafiki will talk about squashed bananas unless Simba is alive.
\item Rafiki will either talk about squashed bananas or he won't, but there is food to be found in the pridelands regardless.
\item Scar permanecerá como rei se e somente se há comida para ser encontrada em Pridelands.%Scar will remain as king if and only if there is food to be found in the pridelands.
\item Se Simba estiver vivo, então Scar não permanecerá como rei.%If Simba is alive, then Scar will not remain as king.
\end{earg}

\problempart
Para cada argumento, escreva uma chave de simbolização e simbolize todas as sentenças do argumento em LVF:%For each argument, write a symbolization key and symbolize all of the sentences of the argument in TFL.
\begin{earg}
\item Se Dorothy toca piano de manhã, então Roger acorda irritado. Dorothy toca piano de manhã, a menos que ela esteja distraída. Assim, se Roger não acorda irritado, então Dorothy deve estar distraída.%If Dorothy plays the piano in the morning, then Roger wakes up cranky. Dorothy plays piano in the morning unless she is distracted. So if Roger does not wake up cranky, then Dorothy must be distracted.
\item Choverá ou nevará na terça. Se chover, Neville ficará triste. Se nevar, Neville ficará com frio. Portanto, Neville ou estará triste ou ficará com frio na terça.%It will either rain or snow on Tuesday. If it rains, Neville will be sad. If it snows, Neville will be cold. Therefore, Neville will either be sad or cold on Tuesday.
\item Se Zoog lembrasse de fazer as tarefas dele, então as coisas estariam limpas, mas não arrumadas. Se ele esqueceu-se, então as coisas estariam arrumadas, mas não limpas. Portanto, as coisas estão  arrumadas ou limpas, mas não ambos.%If Zoog remembered to do his chores, then things are clean but not neat. If he forgot, then things are neat but not clean. Therefore, things are either neat or clean; but not both.
\end{earg}

\problempart
Para cada argumento, escreva uma chave de simbolização e simbolize o argumento da melhor maneira possível em LVF. A parte da passagem em itálico tem o objetivo de fornecer o contexto para o argumento e não precisa ser simbolizado.
%For each argument, write a symbolization key and symbolize the argument as well as possible in TFL. The part of the passage in italics is there to provide context for the argument, and doesn't need to be symbolized.
\begin{earg}
\item Choverá em breve. Sei disso, porque minhas pernas estão doendo e minhas pernas doem, se irá chover.
%It is going to rain soon. I know because my leg is hurting, and my leg hurts if it's going to rain. 

%{\color{red}
%\begin{ekey}
%\item[A:]  
%\item[B:]  
%\item[C:]  %\end{ekey}

%begin{\earg}
%\item[1.]  
%\item[2.]  
%\item[$\therefore$]  
%}

\item  \emph{O Homem-Aranha tenta descobrir o plano do bandido} Se Doutor Octopus obter urânio, ele chantageará a cidade. Eu estou certo disto, porque se Doutor Octopus obter o urânio, ele pode fazer uma bomba suja e se ele fizer uma bomba suja, ele chantageará a cidade.
%\emph{Spider-man tries to figure out the bad guy's plan.} If Doctor Octopus gets the uranium, he will blackmail the city. I am certain of this because if Doctor Octopus gets the uranium, he can make a dirty bomb, and if he can make a dirty bomb, he will blackmail the city.

%{\color{red}
%\begin{ekey}
%\item[A:]  
%\item[B:]  
%\item[C:]  %\end{ekey}

%begin{\earg}
%\item[1.]  
%\item[2.]  
%\item[$\therefore$]  
%}

\item \emph{Um ocidental tenta prever as políticas do governo chinês} Se o governo chinês não conseguir resolver a escassez de água em Pequim, o governo chinês terá de mudar a capital. O governo chinês não deseja mudar a capital. Portanto, o governo chinês deve resolver a escassez de água. Mas a única maneira de resolver a escassez de água é desviar quase toda água do rio  Yangzi para o norte. Portanto, o governo chinês continuará o projeto de desviar a água do sul para o norte.
%\emph{A westerner tries to predict the policies of the Chinese government.} If the Chinese government cannot solve the water shortages in Beijing, they will have to move the capital. They don't want to move the capital. Therefore they must solve the water shortage. But the only way to solve the water shortage is to divert almost all the water from the Yangzi river northward. Therefore the Chinese government will go with the project to divert water from the south to the north.       



%{\color{red}
%\begin{ekey}
%\item[A:]  
%\item[B:]  
%\item[C:]  %\end{ekey}

%begin{\earg}
%\item[1.]  
%\item[2.]  
%\item[$\therefore$]  
%}

\end{earg}


\problempart
Simbolizamos \emph{ou exclusivo} usando `$\eor$', `$\eand$' e `$\enot$'. Como você poderia simbolizar \emph{ou exclusivo} usando somente dois conectivos? Há alguma maneira de simbolizar \emph{ou exclusivo} usando apenas um conectivo?
%We symbolized an \emph{exclusive or} using `$\eor$', `$\eand$', and `$\enot$'. How could you symbolize an \emph{exclusive or} using only two connectives? Is there any way to symbolize an \emph{exclusive or} using only one connective?


\chapter{Sentenças de LVF}\label{s:TFLSentences}
%The sentence `either apples are red, or berries are blue' is a sentence of English, and the sentence `$(A\eor B)$' is a sentence of TFL. Although we can identify sentences of English when we encounter them, we do not have a formal definition of `sentence of English'. But in this chapter, we will offer a complete \emph{definition} of what counts as a sentence of TFL.  This is one respect in which a formal language like TFL is more precise than a natural language like English.
%
A sentença `ou maçãs são vermelha ou os mirtilos são azuis' é uma sentença do Português e a sentença `$(A\eor B)$' é uma sentença de LVF. Embora possamos identificar sentenças do Português quando as encontramos, não temos uma definição formal de `sentença do Português'. Mas, neste capítulo, ofereceremos uma \emph{definição completa} do que conta como uma sentença de LVF. Isto é um aspecto no qual a linguagem formal como LVF é mais precisa que uma linguagem natural como Português.

\section{Expressões}
\nix{The concept of an expression does not actually do any work, since a formula can be defined without reference to it. Yet it is sometimes handy to be able to use the word.}

Vimos que há três tipos de símbolos em LVF:%We have seen that there are three kinds of symbols in TFL:
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
Sentenças atômicas & $A,B,C,\ldots,Z$\\
com subscrito, quando necessário & $A_1, B_1,Z_1,A_2,A_{25},J_{375},\ldots$\\
\\
Conectivos & $\enot,\eand,\eor,\eif,\eiff$\\
\\
Parênteses &( , )\\
\end{tabular}
\end{center}
%We define an \define{expression of TFL} as any string of symbols of TFL. Take any of the symbols of TFL and write them down, in any order, and you have an expression of TFL.
Definimos uma \define{express\~ao de LVF} como qualquer sequência de símbolos de LVF. Tome qualquer um dos símbolos de LVF e escreva-os em qualquer ordem e você tem uma expressão de LVF.

\section{Sentenças}\label{s:Sentences}
%Of course, many expressions of TFL will be total gibberish. We want to know when an expression of TFL amounts to a \emph{sentence}. 
É claro, muitas expressões de LVF serão totalmente sem sentido [\emph{gibberish}]. Queremos saber quando uma expressão de LVF equivale a uma sentença.
%Obviously, individual sentence letters like `$A$' and `$G_{13}$' should count as sentences. (We'll also call them \emph{atomic} sentences.) We can form further sentences out of these by using the various connectives. Using negation, we can get `$\enot A$' and `$\enot G_{13}$'. Using conjunction, we can get `$(A \eand G_{13})$', `$(G_{13} \eand A)$', `$(A \eand A)$', and `$(G_{13} \eand G_{13})$'. We could also apply negation repeatedly to get sentences like `$\enot \enot A$' or apply negation along with conjunction to get sentences like `$\enot(A \eand G_{13})$' and `$\enot(G_{13} \eand \enot G_{13})$'. The possible combinations are endless, even starting with just these two sentence letters, and there are infinitely many sentence letters. So there is no point in trying to list all the sentences one by one.

Obviamente, letras sentenciais individuais como `$A$' e `$G_{13}$' deveriam contar como sentenças (chamá-las-emos também sentenças \emph{atômicas}). POdemos formaroutras sentenças a partir destas, usando os vários conectivos. Usando negação, podemos obter `$\enot A$' e `$\enot G_{13}$'. Usando a conjunção, podemos obter `$(A \eand G_{13})$', `$(G_{13} \eand A)$', `$(A \eand A)$' e `$(G_{13} \eand G_{13})$'. Também poderíamos aplicar a negação repetidamente para obter sentenças como `$\enot \enot A$'  ou aplicar a negação junto com a negação para obter sentenças como `$\enot(A \eand G_{13})$' e `$\enot(G_{13} \eand \enot G_{13})$'. As combinações possíveis são infinitas, masmo partindo apenas com duas letras sentenciais e há infinitas (enumerável) letras sentenciais. Desse modo, não faz sentido tentar listar todas as sentenças uma por uma.
%Instead, we will describe the process by which sentences can be \emph{constructed}. Consider negation: Given any sentence \meta{A} of TFL, $\enot\meta{A}$ is a sentence of TFL. (Why the funny fonts? We return to this in \S\ref{s:Metavariables}.)

Em vez disso, descreveremos o processo por meio do qual as sentenças podem ser \emph{construídas}. Considere a negação: dada qualquer sentença \meta{A} de LVF, $\enot\meta{A}$ é uma sentença de LVF ( Por que fontes diferentes? Retornaremos a isto em \S\ref{s:Metavariables}).
 
%We can say similar things for each of the other connectives. For instance, if \meta{A} and \meta{B} are sentences of TFL, then $(\meta{A}\eand\meta{B})$ is a sentence of TFL. Providing clauses like this for all of the connectives, we arrive at the following formal definition for a \define{sentence of TFL}:
Podemos dizer coisas similares para todos os outros conectivos. Por exemplo, se \meta{A} e \meta{B} são sentenças de LVF, então $(\meta{A}\eand\meta{B})$ é uma sentença de LVF. Fornecendo cláusulas como esta para todos os conectivos, chegamos à seguinte definição formal para \define{senten\c{c}a de LVF}:
	\factoidbox{\label{TFLsentences}
	\begin{enumerate}
		\item Toda letra sentencial é uma sentença.%Every sentence letter is a sentence.
		\item Se \meta{A} for uma sentença, então $\enot\meta{A}$ será uma sentença.
		\item Se \meta{A} e \meta{B} forem sentenças, então $(\meta{A}\eand\meta{B})$ é uma sentença.
		\item Se \meta{A} e \meta{B} forem sentenças, então $(\meta{A}\eor\meta{B})$ é uma sentença.
		\item If \meta{A} e \meta{B} forem sentenças, then $(\meta{A}\eif\meta{B})$ é uma sentença.
		\item If \meta{A} e \meta{B} forem sentenças, then $(\meta{A}\eiff\meta{B})$ é uma sentença.
		\item Nenhuma outra coisa é sentença.%Nothing else is a sentence.
	\end{enumerate}
	}
\newglossaryentry{sentence of TFL}
{
name=sentence (of TFL),
description={A string of symbols in TFL that can be built up according to the inductive rules given on p.~\pageref{TFLsentences}}
}
%Definitions like this are called \emph{inductive}. Inductive definitions begin with some specifiable base elements, and then present ways to generate indefinitely many more elements by compounding together previously established ones. 

Definições como esta são chamadas \emph{indutivas}. Definições indutivas começam com alguns elementos básicos específicos e, então apresenta formas de gerar indefinidamente muitos mais elementos, combinando aqueles previamente estabelecidos.

%To give you a better idea of what an inductive definition is, we can give an inductive definition of the idea of \emph{an ancestor of mine}. We specify a base clause.
Para melhor exemplificar a ideia do que seja uma definição indutiva, podemos dar uma definição indutiva da ideia de \emph{um ancestral meu}. Especificamos uma cláusula base.
	\begin{ebullet}
		\item Meus pais são meus ancestrais.%My parents are ancestors of mine.
	\end{ebullet}
e, então, oferecemos outras cláusulas como:%and then offer further clauses like:
	\begin{ebullet}
		\item Se $X$ é meu ancestral, então os pais de $X$ são meus ancestrais.%If $x$ is an ancestor of mine, then $x$'s parents are ancestors of mine.
		\item Nenhuma outra coisa é meu ancestral.%Nothing else is an ancestor of mine.
	\end{ebullet}
%Using this definition, we can easily check to see whether someone is my ancestor: just check whether she is the parent of the parent of\ldots one of my parents.  And the same is true for our inductive definition of sentences of TFL.Just as the inductive definition allows complex sentences to be built up from simpler parts, the definition allows us to decompose sentences into their simpler parts. Once we get down to sentence letters, then we know we are ok. 
Usando esta definição, podemos facilmente verificar se alguém é meu ancestral: basta checar se é pai ou mãe dos pais\ldots de um dos meus pais. E o mesmo é verdadeiro para nossa definição indutiva de sentença de LVF. Assim como a definição indutiva permite construir sentenças complexas a partir das mais simples, a definição nos permite decompor sentenças  nas suas partes mais simples. Uma vez que chegamos às letras sentenciais, então sabemos que estamos certos. 

Vamos considerar alguns exemplos.
%Let's consider some examples.
%Suppose we want to know whether or not `$\enot \enot \enot D$' is a sentence of TFL. Looking at the second clause of the definition, we know that `$\enot \enot \enot D$' is a sentence \emph{if} `$\enot \enot D$' is a sentence. So now we need to ask whether or not `$\enot \enot D$' is a sentence. Again looking at the second clause of the definition, `$\enot \enot D$' is a sentence \emph{if} `$\enot D$' is. So, `$\enot D$' is a sentence \emph{if} `$D$' is a sentence. Now `$D$' is a sentence letter of TFL, so we know that `$D$' is a sentence by the first clause of the definition.  So for a compound sentence like `$\enot \enot \enot D$', we must apply the definition repeatedly. Eventually we arrive at the sentence letters from which the sentence is built up.

Suponha que desejamos saber se `$\enot \enot \enot D$' é uma sentença ou não de LVF. Olhando para segunda cláusula da definição, sabemos que `$\enot \enot \enot D$' será uma sentença, \emph{se} `$\enot \enot D$' for uma sentença. Assim, agora precisamos perguntar se `$\enot \enot D$' é uma sentença ou não. Novamente olhando para a segunda cláusula da definição, `$\enot \enot D$'  será uma sentença, \emph{se} `$\enot D$' for uma sentença. Desse modo, `$\enot D$' será uma sentença, \emph{se} `$D$' for uma sentença. Ora, `$D$' é uma letra sentencial de LVF, assim sabemos que  `$D$' é uma sentença pela primeira cláusula da definição. Portanto, para uma sentença composta como `$\enot \enot \enot D$', devemos aplicar a definição repetidamente. Finalmente, chegamos às letras sentenciais a partir das quais a sentença é construída.
%Next, consider the example `$\enot (P \eand \enot (\enot Q \eor R))$'.Looking at the second clause of the definition, this is a sentence if `$(P \eand \enot (\enot Q \eor R))$' is, and this is a sentence if \emph{both} `$P$' \emph{and} `$\enot (\enot Q \eor R)$' are sentences. The former is a sentence letter, and the latter is a sentence if `$(\enot Q \eor R)$' is a sentence.  It is. Looking at the fourth clause of the definition, this is a sentence if both `$\enot Q$' and `$R$' are sentences, and both are!

Em seguida, considere o exemplo `$\enot (P \eand \enot (\enot Q \eor R))$'. Olhando para segunda cláusula da definição, isto será uma sentença, se `$(P \eand \enot (\enot Q \eor R))$' for uma sentença e isto será uma sentença, se \emph{tanto} `$P$' \emph{como} `$\enot (\enot Q \eor R)$' forem sentenças. Aquela é uma letra sentencial e a última será uma sentença, se  `$(\enot Q \eor R)$' for uma sentença. Ela é. Olhando para quarta cláusula da definição, isto será uma sentença, se tanto `$\enot Q$' como `$R$' forem sentenças e ambas são!
%Ultimately, every sentence is constructed nicely out of sentence letters. When we are dealing with a \emph{sentence} other than a sentence letter, we can see that there must be some sentential connective that was introduced \emph{last}, when constructing the sentence. We call that connective the \define{main logical operator} of the sentence.  In the case of `$\enot\enot\enot D$', the main logical operator is the very first `$\enot$' sign. In the case of `$(P \eand \enot (\enot Q \eor R))$', the main logical operator is `$\eand$'. In the case of `$((\enot E \eor F) \eif \enot\enot G)$', the main logical operator is `$\eif$'.

Enfim, qualquer sentença  é construída a partir das letras sentenciais. Quando estamos lidando com uma \emph{sentença} diferente de uma letra sentencial, podemos ver que deve existir algum conectivo sentencial que foi introduzido \emph{por último}, ao construir a sentença. Chamamos este conectivo o \define{conectivo principal} da sentença. No caso de   `$\enot\enot\enot D$', o conectivo lógico principal é o primeiro sinal `$\enot$'. No caso de `$(P \eand \enot (\enot Q \eor R))$', o operador lógico principal é `$\eand$'. No caso de `$((\enot E \eor F) \eif \enot\enot G)$', o operador lógico principal é `$\eif$'.
%As a general rule, you can find the main logical operator for a sentence by using the following method:


Como uma regra geral, você pode encontrar o operador lógico principal de uma sentença, usando o seguinte método:
\begin{ebullet}
	\item Se o primeiro símbolo na sentença for `$\enot$', então este é o operador lógico principal.%If the first symbol in the sentence is `$\enot$', then that is the main logical operator
	\item Caso contrário, comece a contar os parênteses. Para cada parêntese aberto, ou seja, `(', adicione $1$; para cada parêntese fechado, ou seja, `)', subtraia $1$. Quando sua contagem é exatamente $1$, o primeiro operador que você encontrar (\emph{exceto} a partir de `$\enot$') é o operador lógico principal. %Otherwise, start counting the brackets. For each open-bracket, i.e.\ `(', add $1$; for each closing-bracket, i.e.\ `$)$', subtract $1$. When your count is at exactly $1$, the first operator you hit (\emph{apart} from a `$\enot$') is the main logical operator. 
\end{ebullet}

%(Note: if you do use this method, then make sure to include \emph{all} the brackets in the sentence, rather than omitting some as per the conventions of \S\ref{TFLconventions}!)
(Nota: se você usar este método, então certifique-se de incluir \emph{todos} os parênteses na sentença, em vez de omitir algums conforme convenções de \S\ref{TFLconventions}!)

\newglossaryentry{main logical operator}
{
name=main connective,
description={The last connective that you add when you assemble a sentence using the inductive definition}
}
%The inductive structure of sentences in TFL will be important when we consider the circumstances under which a particular sentence would be true or false. The sentence `$\enot \enot \enot D$' is true if and only if the sentence `$\enot \enot D$' is false, and so on through the structure of the sentence, until we arrive at the atomic components. We will return to this point in Part~\ref{ch.TruthTables}.

A estrutura indutiva de sentenças de LVF será importante qunado considerarmos as circunstâncias sob as quais uma sentença em particular seria verdadeira ou falsa. A sentença  `$\enot \enot \enot D$' é verdadeira se e somente se a sentença `$\enot \enot D$' é falsa e assim por diante através da estrutura da sentença, até que se chegue aos componentes atômicos. Retornaremos a este ponto na Parte~\ref{ch.TruthTables}. 
%The inductive structure of sentences in TFL also allows us to give a formal definition of the \emph{scope} of a negation (mentioned in \S\ref{s:ConnectiveConjunction}). The scope of a `$\enot$' is the subsentence for which `$\enot$' is the main logical operator. Consider a sentence like:

A estrutura indutiva das sentenças de LVF também nos permite dar uma definição formal do \emph{escopo} de uma negação (mencionado em \S\ref{s:ConnectiveConjunction}). O escopo de `$\enot$' é a subsentença para a qual `$\enot$' é o operador lógico principal. Considere uma sentença como:
 
$$(P \eand (\enot (R \eand B) \eiff Q))$$
%which was constructed by conjoining `$P$' with `$ (\enot (R \eand B) \eiff Q)$'. This last sentence was constructed by placing a biconditional between `$\enot (R \eand B)$' and `$Q$'.The former of these sentences---a subsentence of our original sentence---is a sentence for which `$\enot$' is the main logical operator.So the scope of the negation is just `$\enot(R \eand B)$'. More generally:
que foi construída, combinando  `$P$' com `$ (\enot (R \eand B) \eiff Q)$'. Esta última sentença foi construída, colocando-se um bicondicional entre `$\enot (R \eand B)$' e `$Q$'. A primeira destas sentenças --- uma subsentença de nossa sentença original --- é uma sentença para a qual `$\enot$' é o operador lógico principal. Desse modo, o escopo da negação é justamente `$\enot(R \eand B)$'. De uma forma mais geral:

  
	\factoidbox{
	O \define{escopo} de um conectivo (em uma sentença) é a subsentença para a qual este conectivo é o operador lógico principal.%The \define{scope} of a connective (in a sentence) is the subsentence for which that connective is the main logical operator.
	}


\section{Convenções sobre o uso de parênteses}
\label{TFLconventions}
%Strictly speaking, the brackets in `$(Q \eand R)$' are an indispensable part of the sentence. Part of this is because we might use `$(Q \eand R)$' as a subsentence in a more complicated sentence.  For example, we might want to negate `$(Q \eand R)$', obtaining `$\enot(Q \eand R)$'. If we just had `$Q \eand R$' without the brackets and put a negation in front of it, we would have `$\enot Q \eand R$'. It is most natural to read this as meaning the same thing as `$(\enot Q \eand R)$', but as we saw in  \S\ref{s:ConnectiveConjunction}, this is very different from `$\enot(Q\eand R)$'.
Estritamente falando, os parênteses em `$(Q \eand R)$' são uma parte indispensável da sentença. Em parte, isto é assim, porque poderíamos usar `$(Q \eand R)$' como uma subsentença em uma sentença mais complicada. Por exemplo, poderíamos querer negar `$(Q \eand R)$', obtendo `$\enot(Q \eand R)$'. Se apenas tivéssemos `$Q \eand R$' sem parênteses e colocássemos uma negação na frente dela, teríamos `$\enot Q \eand R$'. É mais natural ler isto como significando a mesma coisa que `$(\enot Q \eand R)$', mas, como vimos em \S\ref{s:ConnectiveConjunction}, isto é muito diferente de `$\enot(Q\eand R)$'. 
%Strictly speaking, then, `$Q \eand R$' is \emph{not} a sentence. It is a mere \emph{expression}.

Estritamente falando, então, `$Q \eand R$' \emph{não} é uma sentença. É meramente uma expressão.
%When working with TFL, however, it will make our lives easier if we are sometimes a little less than strict. So, here are some convenient conventions.

Entretanto, ao trabalhar com LVF, tornará nossa vida mais fácil, se formos às vezes um pouco menos rigorosos. Assim, aqui estão algumas convenções.
%First,  we allow ourselves to omit the \emph{outermost} brackets of a sentence. Thus we allow ourselves to write `$Q \eand R$' instead of the sentence `$(Q \eand R)$'. However, we must remember to put the brackets back in, when we want to embed the sentence into a more complicated sentence!

Em primeiro lugar, será permitido omitir os parênteses \emph{mais externos} de uma sentença. Desse modo, será permitido escrever `$Q \eand R$', em vez da sentença `$(Q \eand R)$'. Todavia, devemos lembrar de colocar parênteses de volta quando quisermos incorporar a sentença em uma sentença mais complicada!
%Second, it can be a bit painful to stare at long sentences with many nested pairs of brackets. To make things a bit easier on the eyes, we will allow ourselves to use square brackets, `[' and `]', instead of rounded ones. So there is no logical difference between `$(P\eor Q)$' and `$[P\eor Q]$', for example. 

Em segundo lugar, pode ser um pouco doloroso olhar para longas sentenças com muitos pares aninhados de parênteses. Para tornar as coisas mais fáceis aos olhos, serão permitidos colchetes, `[' e `]', em vez de parênteses. Desse modo, não há diferença lógica entre ets. To make things a bit easier on the eyes, we will allow ourselves to use square brackets, `[' and `]', instead of rounded ones. So there is no logical difference between `$(P\eor Q)$' e `$[P\eor Q]$', por exemplo. 
 %Combining these two conventions, we can rewrite the unwieldy sentence

Combinando estas duas convenções, podemos reescrever a sentença complicada
$$(((H \eif I) \eor (I \eif H)) \eand (J \eor K))$$
de forma mais clara da seguinte maneira:%rather more clearly as follows:
$$\bigl[(H \eif I) \eor (I \eif H)\bigr] \eand (J \eor K)$$
O escopo de cada conectivo é agora mais fácil de entender%The scope of each connective is now much easier to pick out.

\practiceproblems

\solutions
\problempart
\label{pr.wiffTFL}
%For each of the following: (a) Is it a sentence of TFL, strictly speaking? (b) Is it a sentence of TFL, allowing for our relaxed bracketing conventions?
Para cada um dos seguintes: (a) é uma sentença de LVF, estritamente falando? (b) É uma sentença de LVF, permitindo-se nossas convenções sobre o uso dos parênteses?
\begin{earg}
\item $(A)$
\item $J_{374} \eor \enot J_{374}$
\item $\enot \enot \enot \enot F$
\item $\enot \eand S$
\item $(G \eand \enot G)$
\item $(A \eif (A \eand \enot F)) \eor (D \eiff E)$
\item $[(Z \eiff S) \eif W] \eand [J \eor X]$
\item $(F \eiff \enot D \eif J) \eor (C \eand D)$
\end{earg}

\problempart
%Are there any sentences of TFL that contain no sentence letters? Explain your answer.\\
Há quaisquer sentenças de LVF que não contenham letras sentenciais? Explique sua resposta.\\
\problempart
%What is the scope of each connective in the sentence
Qual é o escopo de cada conectivo na sentença:
$$\bigl[(H \eif I) \eor (I \eif H)\bigr] \eand (J \eor K)$$


\chapter{Uso e menção}\label{s:UseMention}
%In this Part, we have talked a lot \emph{about} sentences. So we should pause to explain an important, and very general, point.
Neste capítulo, falaremos muito sobre sentenças. Desse modo, deveríamos pausar e explicar um ponto importante e muito geral.

\section{Convenções para citação}
Considere estas duas sentenças:%Consider these two sentences:
	\begin{ebullet}
		\item Justin Trudeau é o Primeiro Ministro.%is the Prime Minister.
		\item The expresssão `Justin Trudeau' é composta de duas letras maiúsculas e onze letras minúsculas.%is composed of two uppercase letters and eleven lowercase letters
	\end{ebullet}
%When we want to talk about the Prime Minister, we \emph{use} his name. When we want to talk about the Prime Minister's name, we \emph{mention} that name, which we do by putting it in quotation marks.
Quando queremos falar sobre o Primeiro Ministro, nós \emph{usamos} o nemoe dele. Quando queremos falar sobre o nome do Primeiro Ministro, nós \emph{mencionamos} este nome e fazemos isto, colocando-o entre aspas.
%There is a general point here. When we want to talk about things in the world, we just \emph{use} words. When we want to talk about words, we typically have to \emph{mention} those words. We need to indicate that we are mentioning them, rather than using them.  To do this, some convention is needed. We can put them in quotation marks, or display them centrally in the page (say). So this sentence:

Há um ponto geral aqui. Quando falamos sobre coisas no mundo, nós justamente \emph{usamos} palavras. Quando queremos falar sobre palavras, tipicamente temos de \emph{mencionar} estas palavras. Precisamos indicar que estamos mencionado-as, em vez de usá-las. Para fazer isto, alguma convenção é necessária. Podemos colocá-las entre aspas ou mostrá-las centralizadas na página. Assim, esta sentença:
	\begin{ebullet}
		\item `Justin Trudeau' é o Primeiro Ministro.% is the Prime Minister.
	\end{ebullet}
diz que alguma \emph{expressão} é o Primeiro Ministro. Isto é falso. O \emph{humano} é o Primeiro Ministro; o \emph{nome} dele não é. Inversamente, esta sentença:
%says that some \emph{expression} is the Prime Minister. That's false. The \emph{man} is the Prime Minister; his \emph{name} isn't. Conversely, this sentence:
	\begin{ebullet}
		\item Justin Trudeau é composto de duas letras maiúsculas e onze letras minúsculas.%is composed of two uppercase letters and eleven lowercase letters.
	\end{ebullet}
também diz algo falso: Justin Trudeau é um humano, feito de carne e osso, em vez de letras. Um exemplo final:
%also says something false: Justin Trudeau is a man, made of flesh rather than letters. One final example:
	\begin{ebullet}
		\item ``\,`Justin Trudeau'\,'' é o nome de `Justin Trudeau'.
	\end{ebullet} 
%On the left-hand-side, here, we have the name of a name. On the right hand side, we have a name. Perhaps this kind of sentence only occurs in logic textbooks, but it is true nonetheless. 
Aqui, à esquerda, temos o nome de um nome. à direita, temos um nome. Talvez este tipo de sentença ocorra apenas nos manuais de lógica, mas, não obstante, ela é verdadeira.
%Those are just general rules for quotation, and you should observe them carefully in all your work! To be clear, the quotation-marks here do not indicate indirect speech. They indicate that you are moving from talking about an object, to talking about the name of that object.	

Estas são somente regras gerais para citação e você deveria observá-las cuidadosamente em todos seus trabalhos! Para ser claro, as aspas aqui não indicam fala indireta. Elas indicam que você está mudando da fala sobre um objeto para a fala sobre o nome deste objeto.




\section{Linguagem objeto e metalinguagem}
%These general quotation conventions are of particular importance for us. After all, we are describing a formal language here, TFL, and so we are often \emph{mentioning} expressions from TFL. 
Estas convenções gerais de citação são de importância particular para nós. Afinal das contas, estamos descrevendo uma linguagem formal aqui, LVF, e, portanto, estamos frequentemente \emph{mencionando} expressões de LVF.
%When we talk about a language, the language that we are talking about is called the \define{object language}. The language that we use to talk about the object language is called the \define{metalanguage}.

Quando falamos sobre uma linguagem, a linguagem sobre a qual estamos falando é chamada a \define{linguagem objeto}. A linguagem que usamos para falar sobre a linguagem objeto é chamada a \define{metalinguagem}.

\label{def.metalanguage}
\newglossaryentry{object language}
{
name=object language,
description={A language that is constructed and studied by logicians. In this textbook,
 the object languages are TFL and FOL}
}

\newglossaryentry{metalanguage}
{
name=metalanguage,
description={The language logicians use to talk about the object language. In this textbook, the metalanguage is English, supplemented by certain symbols like metavariables and technical terms like ``valid''}
}
%For the most part, the object language in this chapter has been the formal language that we have been developing: TFL. The metalanguage is English. Not conversational English exactly, but English supplemented with some additional vocabulary which helps us to get along.

Na maioria das vezes, a linguagem objeto neste capítulo tem sido a linguagem formal que estamos desenvolvendo: LVF. A metalinguagem é o Português. Não o Português do dia a dia, mas o Português suplementado com algum vocabulário adicional que nos ajudar a fazer progresso [\emph{but English supplemented with some additional vocabulary which helps us to get along.}].
%Now, we have used uppercase letters as sentence letters of TFL:

Ora, usamos letras maiúsculas como letras sentenciais de LVF:
	$$A, B, C, Z, A_1, B_4, A_{25}, J_{375},\ldots$$
Estas são sentenças da linguagem objeto (LVF). Elas não são sentenças do Português. Desse modo, não devemos dizer, por exemplo:
%These are sentences of the object language (TFL). They are not sentences of English. So we must not say, for example:
	\begin{ebullet}
		\item $D$ é uma letra sentencial de LVF.%is a sentence letter of TFL.
	\end{ebullet}
%
Obviamente, estamos tentando declarar com uma sentença do Português algo que é sobre a linguagem objeto (LVF), mas  `$D$' é uma sentença de LVF e não parte do Português. Desse modo, o precedente é sem sentido. O mesmo acontece com:	
%Obviously, we are trying to come out with an English sentence that says something about the object language (TFL), but `$D$' is a sentence of TFL, and not part of English. So the preceding is gibberish, just like:
	\begin{ebullet}
		\item Schnee ist wei\ss\ é uma sentença do Alemão.%is a German sentence.
	\end{ebullet}
Certamente, neste caso, o que queríamos dizer é:%What we surely meant to say, in this case, is:
	\begin{ebullet}
		\item `Schnee ist wei\ss' é uma sentença do Alemão.%is a German sentence.
	\end{ebullet}
Da mesma forma, o que queríamos dizer acima é justamente:%Equally, what we meant to say above is just:
	\begin{ebullet}
		\item `$D$' é uma letra sentencial de LVF.%is a sentence letter of TFL.
	\end{ebullet}
%The general point is that, whenever we want to talk in English about some specific expression of TFL, we need to indicate that we are \emph{mentioning} the expression, rather than \emph{using} it.  We can either deploy quotation marks, or we can adopt some similar convention, such as  placing it centrally in the page. 
O ponto geral é que, sempre que quisermos falar em Português sobre alguma expressão específica de LVF, precisamos indicar que estamos \emph{mencionando} a expressão, em vez de usá-la. Podemos empregar aspas ou podemos adotar alguma convenção similar, tal como colocá-la centralizada na página.

\section{Metavariáveis}\label{s:Metavariables}
%However, we do not just want to talk about \emph{specific} expressions of TFL. We also want to be able to talk about \emph{any arbitrary} sentence of TFL.  Indeed, we had to do this in \S\ref{s:Sentences}, when we presented the inductive definition of a sentence of TFL. We used uppercase script letters to do this, namely:
Contudo, não queremos apenas falar sobre expressões \emph{específicas} de LVF. Também queremos ser capazes de falar sobre \emph{qualquer sentença arbitrária} de LVF. De fato, tivemos de fazer em \S\ref{s:Sentences}, quando apresentamos a definição indutiva de uma sentença de LVF. Usamos letras maiúsculas com fonte distinta [\emph{uppercase script letters}] para fazer isto, a saber: 
	$$\meta{A}, \meta{B}, \meta{C}, \meta{D}, \ldots$$
%These symbols do not belong to TFL. Rather, they are part of our (augmented) metalanguage that we use to talk about \emph{any} expression of TFL. To repeat the second clause of the inductive definition of a sentence of TFL, we said:
Estes símbolos não pertencem a LVF. Em vez disso, eles são parte de nossa metalinguagem (estendida) que usamos para falar sobre \emph{qualquer} expressão de LVF. Repetindo a segundo cláusula da definição indutiva de uma sentença de LVF, dissemos:
	\begin{earg}
		\item[2.] Se $\meta{A}$ é uma sentença, então $\enot \meta{A}$ é uma sentença.
	\end{earg}
Isto fala sobre sentenças \emph{arbitrárias}. Se, em vez disso, tivéssemos oferecido:%This talks about \emph{arbitrary} sentences. If we had instead offered:
	\begin{ebullet}
		\item Se `$A$' é uma sentença, então `$\enot A$' é uma sentença.
	\end{ebullet}
isto não nos permitiria determinar se `$\enot B$' é uma sentença. Para enfatizar, então:%this would not have allowed us to determine whether `$\enot B$' is a sentence. To emphasize, then:
	\factoidbox{
	  `$\meta{A}$' é um símbolo (chamado uma \define{metavari\'avel}) no Português estendido, que usamos para falar sobre qualquer expressão de LVF. `$A$' é uma sentença particular de LVF.%`$\meta{A}$' is a symbol (called a \define{metavariable}) in augmented English, which we use to talk about any TFL expression. 	`$A$' is a particular sentence letter of TFL.
	  }

        \newglossaryentry{metavariables}
{
name=metavariables,
description={A variable in the metalanguage that can represent any sentence in the object language}
}
%But this last example raises a further complication for our quotation conventions. We have not included any quotation marks in the second clause of our inductive definition. Should we have done so?
Mas este último exemplo levanta um outra complicação para nossas convenções sobre aspas. Não incluímos quaisquer aspas na segunda cláusula de nossa definição indutiva. Deveríamos ter feito assim?
%The problem is that the expression on the right-hand-side of this rule is not a sentence of English, since it contains `$\enot$'. So we might try to write:

O problema é que a expressão à direita desta regra não é uma sentença do Português, uma vez que ela contém `$\enot$'.. Assim, poderíamos tentar escrever:
	\begin{enumerate}
		\item[2$'$.] Se \meta{A} é uma sentença, então `$\enot \meta{A}$' é uma sentença.
	\end{enumerate}
Mas isto não é bom: `$\enot \meta{A}$' não é uma sentença de LVF, uma vez que `$\meta{A}$' é um símbolo do Português (estendido), em vez de um símbolo de LVF.
%But this is no good: `$\enot \meta{A}$' is not a TFL sentence, since `$\meta{A}$' is a symbol of (augmented) English rather than a symbol of TFL.

O que, de fato, queremos dizer é algo como isto:%What we really want to say is something like this:
	\begin{enumerate}
		\item[2$''$.] Se \meta{A} é uma sentença, então o resultado de concatenar o símbolo `$\enot$' com a sentença \meta{A} é uma sentença.
	\end{enumerate}
Isto é impecável, mas excessivamente longo.
%This is impeccable, but rather long-winded. %Quine introduced a convention that speeds things up here. In place of (2$''$), he suggested:
%	\begin{enumerate}
%		\item[2$'''$.] If \meta{A} and \meta{B} are sentences, then $\ulcorner (\meta{A}\eand\meta{B})\urcorner$ is a sentence
%	\end{enumerate}
%The rectangular quote-marks are sometimes called `Quine quotes', after Quine. The general interpretation of an expression like `$\ulcorner (\meta{A}\eand\meta{B})\urcorner$' is in terms of rules for concatenation. 
%
Mas podemos evitar isso, criando nossas próprias convenções. Podemos perfeitamente estipular que uma expressão como `$\enot \meta{A}$' deveria simplesmente ser lida \emph{diretamente} em termos de regras para concatenação. Assim, \emph{oficialmente}, a expressão metalinguística  `$\enot \meta{A}$' simplesmente abrevia:

%But we can avoid long-windedness by creating our own conventions. We can perfectly well stipulate that an expression like `$\enot \meta{A}$' should simply be read \emph{directly} in terms of rules for concatenation. So, \emph{officially}, the metalanguage expression `$\enot \meta{A}$' simply abbreviates:
\begin{quote}
	o resultado de concatenar o símbolo `$\enot$' com a sentença  \meta{A}%the result of concatenating the symbol `$\enot$' with the sentence \meta{A}
\end{quote}
e, similarmente, para expressões como `$(\meta{A} \eand \meta{B})$', `$(\meta{A} \eor \meta{B})$' etc.
%and similarly, for expressions like `$(\meta{A} \eand \meta{B})$', `$(\meta{A} \eor \meta{B})$', etc.


\section{Convenções de citação para argumentos}
%One of our main purposes for using TFL is to study arguments, and that will be our concern in Parts \ref{ch.TruthTables} and \ref{ch.NDTFL}. In English, the premises of an argument are often expressed by individual sentences, and the conclusion by a further sentence.   Since we can symbolize English sentences, we can symbolize English arguments using TFL. Thus we might ask whether the argument whose premises are the TFL sentences `$A$' and `$A \eif C$', and whose conclusion is the TFL sentence `$C$', is valid.  However, it is quite a mouthful to write that every time. So instead we will introduce another bit of abbreviation. This:

Um dos principais propósitos para usar LVF é estudar argumentos e isto será nossa preocupação nas Partes \ref{ch.TruthTables} e \ref{ch.NDTFL}. No Português, as premissas de um argumento são frequentemente expressas por meio de sentenças individuais e a concusão por uma outra sentença. Uma vez que podemos simbolizar sentenças do Português, podemos simbolizar argumentos, usando LVF. Desse modo, poderíamos perguntar se o argumento cujas premissas são sentenças de LVF `$A$' e `$A \eif C$' e cuja conclusão é a sentença de LVF `$C$' é válido. Todavia, é muita coisa para escrever toda vez. Assim, em vez disso, introduziremos uma outra abreviação. Esta:
	$$\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n \therefore \meta{C}$$
abrevia:%abbreviates:
	\begin{quote}
		o argumento com premissas  $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ e conclusão $\meta{C}$
	\end{quote}
Para evitar confusão [\emph{clutter}] desnecessária, não consideraremos que isso exige aspas (note que `$\therefore$' é um símbolo de nossa \emph{metalinguagem} estendida, e não um novo símbolo de LVF).
%To avoid unnecessary clutter, we will not regard this as requiring quotation marks around it. (Note, then, that `$\therefore$' is a symbol of our augmented \emph{metalanguage}, and not a new symbol of TFL.)
